a) Vì $AD=\frac{1}{3}AC$ nên đường cao hạ từ $D$ xuống $AB=\frac{1}{3}$ đường cao hạ từ $C$ xuống $AB$

do đó $S_{ADB}=\frac{1}{3}{S}_{ABC}$ hay $S_{ABC}=3S_{ADB}=3.12,5=37,5\left(c{m}^2\right)$

Vì $AD=\frac{1}{3}AC$ nên $CD=\frac{2}{3}AC$

Do đó đường cao hạ từ $D$ xuống $BC=\frac{2}{3}$ đường cao hạ từ $A$ xuống $BC$ hay đường cao hạ từ $D$ xuống $MC=\frac{2}{3}$ đường cao hạ từ $A$ xuống $BC$

lại có $MC=\frac{1}{2}BC(M$ là trung điểm của $BC)$

Từ đó suy ra $S_{DMC}=\frac{1}{2}.\frac{2}{3}{S}_{ABC}$ hay $S_{DMC}=\frac{1}{3}{S}_{ABC}$

$S_{ADMB}=S_{ABC}-S_{DMC}=S_{ABC}-\frac{1}{3}{S}_{ABC}=\frac{2}{3}{S}_{ABC}$

Vậy $S_{ADMB}=\frac{2}{3}.37,5=25\left(c{m}^2\right).$

b) Ta có: $S_{BDM}=S_{ADMB}-S_{ADB}=25-12,5=12,5\left(c{m}^2\right)$

Do đó $S_{BDM}=S_{ADB}$

mà hai tam giác này có chung cạnh đáy $BD$ nên đường cao hạ từ $M$ đến $BD$ bằng đường cao hạ từ $A$ đến $BD$ hay đường cao hạ từ $M$ đến $BO$ bằng đường cao hạ từ $A$ đến $BO$

Suy ra $S_{ABO}=S_{MBO}$

lại có hai tam giác này có chung đỉnh  $B$ và đường cao hạ từ $B$ xuống $AO$ bằng đường cao hạ từ $B$ xuống $MO$

Do đó $AO=OM.$ 

Mình quên không nói là đề bài yêu cầu chứng minh 2 bổ đề trên.

320 mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm

Nửa chu vi hình chữ nhật lúc sau là:

160 : 2 = 80 (m)

Ta có sơ đồ: 

Theo sơ đồ ta có:

Chiều rộng lúc sau là:

  80: ( 2 + 3) \(\times\) 2 = 32 (m)

Chiều dài lúc sau là:

80 - 32 = 48 (m)

chiều rộng lúc đầu là:

 32 + 8 = 40 (m)

Chiều dài lúc đầu là:

 48 + 72 = 120

Chu vi hình chữ nhật là:

(120 + 40) \(\times\) 2=  320 (m)

Đáp số: 320 m