cho đường tròn (o) và dây cung BC cố định không phải đuờng kính, M là trug điểm của BC. Điểm A thay đổi trên (O) sao cho tam giác ABC nhọn, không cân. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và E,F lần lượt là chân các đường cao hạ từ các đỉnh B,C. Đường tròn đường kính AH cắt AM tại K khác Aa) c/m ME,MF là hai tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH và MK.MA= ME2
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(B=3x^2+3y^2+z^2+5xy-3yz-3xz-2x-2y+3\\\Rightarrow4A=12x^2+12y^2+4z^2+20xy-12yz-12xz-8x-8y+12\\\\=[(9x^2+18xy+9y^2)-(12xz+12yz)+4z^2]+[(2x^2+4xy+2y^2)-(8x+8y)+8]+(x^2-2xy+y^2)+4\\=[(3x+3y)^2-2\cdot(3x+3y)\cdot2z+(2z)^2]+[2(x^2+2xy+y^2)-8(x+y)+8]+(x-y)^2+4\\=(3x+3y-2z)^2+2[(x+y)^2-4(x+y)+4]+(x-y)^2+4\\=(3x+3y-2z)^2+2(x+y-2)^2+(x-y)^2+4\)
Ta thấy: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(3x+3y-2z\right)^2\ge0\forall x,y,z\\2\left(x+y-2\right)^2\ge0\forall x,y\\\left(x-y\right)^2\ge0\forall x,y\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(3x+3y-2z\right)^2+2\left(x+y-2\right)^2+\left(x-y\right)^2+4\ge4\forall x,y,z\)
\(\Leftrightarrow4B\ge4\Leftrightarrow B\ge1\)
Dấu \("="\) xảy ra khi: \(\left\{{}\begin{matrix}3x+3y-2z=0\\x+y-2=0\\x-y=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=x\\2x=2\\2z=6x\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y=1\\z=3\end{matrix}\right.\)
Vậy \(Min_B=1\) khi \(x=y=1;z=3\).
\(Toru\)
a: Xét ΔBAC có AM là phân giác
nên \(\dfrac{BM}{MC}=\dfrac{AB}{AC}\)
=>\(\dfrac{BM}{MC}=\dfrac{a}{b}\)
=>\(\dfrac{BM}{a}=\dfrac{MC}{b}\)
mà BM+MC=BC=a
nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
\(\dfrac{BM}{a}=\dfrac{MC}{b}=\dfrac{BM+MC}{a+b}=\dfrac{a}{a+b}\)
=>\(BM=\dfrac{a\cdot a}{a+b}=\dfrac{a^2}{a+b}\)
Xét ΔBCA có CN là phân giác
nên \(\dfrac{BN}{NA}=\dfrac{BC}{CA}\)
=>\(\dfrac{BN}{NA}=\dfrac{a}{b}\)
=>\(\dfrac{BN}{NA}=\dfrac{BM}{MC}\)
Xét ΔBAC có \(\dfrac{BN}{NA}=\dfrac{BM}{MC}\)
nên MN//AC
b: Xét ΔBAC có MN//AC
nên \(\dfrac{MN}{AC}=\dfrac{BM}{BC}\)
=>\(\dfrac{MN}{b}=\dfrac{a^2}{a+b}:a=\dfrac{a}{a+b}\)
=>\(MN=\dfrac{a\cdot b}{a+b}\)
a:
b: Phương trình hoành độ giao điểm là:
2x-4=x+4
=>2x-x=4+4
=>x=8
Thay x=8 vào y=x+4, ta được:
y=8+4=12
Vậy: Q(8;12)
Tọa độ N là:
\(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=2\cdot0-4=-4\end{matrix}\right.\)
Vậy: N(0;-4)
Tọa độ M là:
\(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=0+4=4\end{matrix}\right.\)
Vậy: M(0;4)
M(0;4); N(0;-4); Q(8;12)
\(MN=\sqrt{\left(0-0\right)^2+\left(-4-4\right)^2}=8\)
\(MQ=\sqrt{\left(8-0\right)^2+\left(12-4\right)^2}=\sqrt{8^2+8^2}=8\sqrt{2}\)
\(NQ=\sqrt{\left(8-0\right)^2+\left(12+4\right)^2}=\sqrt{8^2+16^2}=8\sqrt{5}\)
Xét ΔMNQ có \(cosMNQ=\dfrac{NM^2+NQ^2-MQ^2}{2\cdot NM\cdot NQ}=\dfrac{256}{2\cdot8\cdot8\sqrt{5}}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\)
=>\(sinMNQ=\sqrt{1-\left(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)^2}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\)
Diện tích ΔMNQ là:
\(S_{MNQ}=\dfrac{1}{2}\cdot NM\cdot NQ\cdot sinMNQ\)
\(=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{5}}\cdot8\cdot8\sqrt{5}=\dfrac{64}{2}=32\)
a: Để \(f\left(x\right)=\dfrac{2}{\left|x\right|-2}\) có nghĩa thì \(\left|x\right|-2\ne0\)
=>\(\left|x\right|\ne2\)
=>\(x\in R\backslash\left\{2;-2\right\}\)
b: Để \(f\left(x\right)=\dfrac{1}{2-x}+\dfrac{1}{x+3}\) có nghĩa thì \(\left\{{}\begin{matrix}2-x\ne0\\x+3\ne0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x\ne2\\x\ne-3\end{matrix}\right.\)
8 ứng với phân số là: 1 - \(\dfrac{1}{3}\) - \(\dfrac{1}{4}\) = \(\dfrac{5}{12}\) (số đó)
Số cần tìm là: 8 : \(\dfrac{5}{12}\) = 19,2
Đáp số: ..
Số tự nhiên có 4 chữ số có dạng: \(\overline{abcd}\) Vì số đó có chữ số hàng đơn vị là 7 nên d = 7.
\(\overline{abcd}\) = \(\overline{abc7}\)
Vì bỏ chữ số 7 ở tận cùng bên phải của số có bốn chữ số đó ta được số mới nên số mới là: \(\overline{abc}\)
Theo bài ra ta có: \(\overline{abc7}\) - \(\overline{abc}\) = 4849
\(\overline{abc}\) x 10 + 7 - \(\overline{abc}\) = 4849
\(\overline{abc}\) x 10 + 7 - \(\overline{abc}\) x 1 = 4849
\(\overline{abc}\) x ( 10 - 1) + 7 = 4849
\(\overline{abc}\) x 9 = 4849 - 7
\(\overline{abc}\) x 9 = 4842
\(\overline{abc}\) = 4842 : 9
\(\overline{abc}\) = 538
Vậy số cần tìm là: 5387
Đáp số: 5387
4b.
Gọi O là giao điểm AC và BD \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}\\\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}\end{matrix}\right.\)
\(T=\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}\right)\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}\right)+\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}\right)^2+\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD}\right)^2\)
\(=3MO^2+\overrightarrow{MO}.\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}\right)+\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OC}+OB^2+OD^2+2\overrightarrow{MO}\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}\right)\)
\(=3MO^2-OA^2+OB^2+OD^2\)
\(=3MO^2+OA^2\) (do \(OA=OB=OD\) theo t/c hình chữ nhật)
OA cố định nên T min khi \(MO^2\) min
\(\Rightarrow M\) là hình chiếu vuông góc của O lên cạnh hình chữ nhật
Mà \(AB>AD\)
\(\Rightarrow M\) là hình chiếu vuông góc của O lên AB hoặc AD
\(\Rightarrow M\) là trung điểm AB hoặc AD
ĐKXĐ: \(x\ge-\dfrac{4}{3}\)
\(\left(x^2+6x+13\right)\left(\dfrac{9\left(5x+9\right)-4\left(3x+4\right)}{3\sqrt{5x+9}+2\sqrt{3x+4}}\right)=33x+65\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x^2+6x+9\right)\left(33x+65\right)}{3\sqrt{5x+9}+2\sqrt{3x+4}}=33x+65\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-\dfrac{65}{33}< -\dfrac{4}{3}\left(ktm\right)\\x^2+6x+9=3\sqrt{5x+9}+2\sqrt{3x+4}\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
Xét (1)
\(\Leftrightarrow x^2+x+3\left(x+3-\sqrt{5x+9}\right)+2\left(x+2-\sqrt{3x+4}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x^2+x+\dfrac{3\left(x^2+x\right)}{x+3+\sqrt{5x+9}}+\dfrac{2\left(x^2+x\right)}{x+2+\sqrt{3x+4}}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+x\right)\left(1+\dfrac{3}{x+3+\sqrt{5x+9}}+\dfrac{2}{x+2+\sqrt{3x+4}}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x^2+x=0\) (ngoặc phía sau luôn dương khi \(x\ge-\dfrac{4}{3}\))
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-1\end{matrix}\right.\)
a/
E và F bình đẳng nhau nên tôi chỉ c/m ME là tiếp tuyến với đường tròn đường kính AH. Còn c/m MF là tiếp tuyến làm tương tự bạn tự c/m nhé
Gọi I là tâm đường tròng đường kính AH => IA=IH
Gọi D là giao của AH với BC
Xét tg ABC có \(AH\perp BC\) (trong tg 3 đường cao đồng quy)
\(\Rightarrow AD\perp BC\)
Xét tg vuông ADC và tg vuông BEC có
\(\widehat{DAC}=\widehat{EBC}\) (cùng phụ với \(\widehat{C}\) ) (1)
Xét tg vuông AHE có
\(IA=IH\Rightarrow IE=IA=IH=\dfrac{AH}{2}\) (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)
\(\Rightarrow E\in\left(I\right)\) và tg AIE cân tại I
\(\Rightarrow\widehat{DAC}=\widehat{AEI}\) (góc ở đáy tg cân) (2)
Xét tg vuông BEC có
\(MB=MC\left(gt\right)\Rightarrow ME=MB=MC=\dfrac{BC}{2}\) (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)
=> tg BME cân tại M
\(\Rightarrow\widehat{EBC}=\widehat{BEM}\) (góc ở đáy tg cân) (3)
Từ (1) (2) (3) \(\Rightarrow\widehat{AEI}=\widehat{BEM}\)
Mà \(\widehat{AEI}+\widehat{BEI}=\widehat{AEB}=90^o\)
\(\Rightarrow\widehat{BEM}+\widehat{BEI}=\widehat{MEI}=90^o\Rightarrow ME\perp IE\) => ME là tiếp tuyến với đường tròn đường kính AH
b/
Xét tg MEK và tg MAE có
\(\widehat{AME}\) chung
Ta có
\(sđ\widehat{MEK}=\dfrac{1}{2}sđcungEK\) (góc giữa tiếp tuyến và dây cung)
\(sđ\widehat{MAE}=\dfrac{1}{2}sđcungEK\) (góc nội tiếp (O))
\(\Rightarrow\widehat{MEK}=\widehat{MAE}\)
=> tg MEK đồng dạng với tg MAE (g.g.g)
\(\Rightarrow\dfrac{ME}{MA}=\dfrac{MK}{ME}\Rightarrow MK.MA=ME^2\)