a) -123+|-13|+(-7)

=-123+13-7

=-110-7

=-117

Trl:

(-123) + |-13| + (-7)

= (-123) + 13 + (-7)

= -110 + (-7)

= -117

Hc tốt

\(t_1=\frac{AB}{v_1}=\frac{AB}{15}\)

\(t_2=\frac{AB}{v_2}=\frac{AB}{30}\)

\(t=t_1-t_2\)

\(t=\frac{AB}{15}-\frac{AB}{30}\left(1\right)\)

\(t_1'=\frac{AB+10}{v_1}=\frac{AB+10}{15}\)

\(t_2'=\frac{\frac{AB}{2}}{v_2}+\frac{\frac{AB}{2}+10}{v_2-3}=\frac{\frac{AB}{2}}{30}+\frac{\frac{AB}{2}+10}{30-3}=\frac{AB}{2.30}+\frac{\frac{AB}{2}+10}{27}\)

\(t=t_1'-t_2'\)

\(t=\frac{AB+10}{15}-\frac{AB}{2.30}-\frac{\frac{AB}{2}+10}{27}\left(2\right)\)

Từ: \(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow\frac{AB}{15}-\frac{AB}{30}=\frac{AB+10}{15}-\frac{AB}{2.30}-\frac{\frac{AB}{2}+10}{27}\)

Vậy \(AB=560km\)

Năm sau nhà máy sẽ tuyển số công nhân là :

         600x10:100=60(công nhân)

Số công nhân nhà máy năm sau là :

     600+60=660(công nhân)

Số công nhân nhà máy sẽ tuyển 2 năm sau là :

      660x10:100=66(công nhân)

Số công nhân nhà máy có sau 2 năm là :

      660+66=726(công nhân)

                       Đáp số : 726 công nhân.

a) Ta có : \(\widehat{A_1}=\frac{1}{2}sđ\widebat{CD}\) ; \(\widehat{B_1}=\frac{1}{2}sđ\widebat{CD}\)

Mà \(\widehat{COD}=sđ\widebat{CD}=90^o\)

Từ đó suy ra \(\widehat{A_1}=\widehat{B_1}=45^o\)

\(\Delta ABD\)nội tiếp ( O ) đường kính AB nên vuông tại D

\(\Rightarrow\Delta BDP\)vuông tại D có \(\widehat{B_1}=45^o\)nên vuông cân

Tương tự : \(\Delta ACP\)vuông cân 

b) Xét \(\Delta ABP\)có \(BD\perp AP;AC\perp BP\)và chúng cắt nhau tại H nên H là trực tâm

\(\Rightarrow PH\perp AB\)

Ta có : 16P = \(a-\frac{ab^3}{b^3+16}+b-\frac{bc^3}{c^3+16}+c-\frac{ca^3}{a^3+16}=3-\left(\frac{ab^3}{b^3+16}+\frac{bc^3}{c^3+16}+\frac{ca^3}{a^3+16}\right)\)

Áp dụng BĐT Cô-si,ta có : \(\frac{ab^3}{b^3+16}=\frac{ab^3}{b^3+8+8}\le\frac{ab^3}{3\sqrt[3]{b^3.8.8}}=\frac{ab^2}{12}\)

Tương tự : \(\frac{bc^3}{c^3+16}\le\frac{bc^2}{12};\frac{ca^3}{a^3+16}\le\frac{ca^2}{12}\)

Cộng từng vế theo bất đẳng thức, ta được : 

\(\frac{ab^3}{b^3+16}+\frac{bc^3}{c^3+16}+\frac{ca^3}{a^3+16}\le\frac{ab^2+bc^2+ca^2}{12}\)

cần tìm giá trị lớn nhất của ab² + bc² + ca²

Không mất tính ttổng quát, giả sử \(a\le b\le c\), ta có :

( b - a ) ( b - c ) \(\le\)0 

\(\Rightarrow b^2+ac\le ab+bc\Rightarrow ab^2+a^2c\le abc+a^2b\)

\(\Rightarrow ab^2+bc^2+ca^2\le a^2b+abc+bc^2=b\left(a^2+ac+c^2\right)\)

\(\le b\left(a+c\right)^2=4.b.\frac{a+c}{2}.\frac{a+c}{2}\le4\left(\frac{b+\frac{a+c}{2}+\frac{a+c}{2}}{3}\right)^3=4\)

\(\Rightarrow16P\ge3-\frac{4}{12}=\frac{8}{3}\Rightarrow P\ge\frac{1}{6}\)

Vậy GTNN của P ;là \(\frac{1}{6}\)khi a = 0 ; b = 1 ; c = 2 hoặc các hoán vị

bài này cho thêm điều kiện a,b,c ko âm 

-20<x<21

=>x thuộc {-19;-18;...-19;20}

=>x Tổng các số nguyên x = (-19) + (-18) + ... + 19 +20

                                           = [(-19) + 19] + [(-18) + 8] + ... +[(-1) + 1] + 0 +20

                                           = 0 + 0 + ... + 0 + 0 + 20

                                           = 0 + 20

                                           = 20

Gọi vận tốc của Lan là \(x\left(x>0\right)\)

Vận tốc của Hằng là: \(x+10\left(km/h\right)\)

Thời gian Lan đi nửa quãng đường là: \(\frac{60}{x}\left(h\right)\)

Thời gian Hằng đi nửa quãng đường là: \(\frac{60}{x+10}\left(h\right)\)

Vì Lan khởi hành trước Hằng \(1h\) nên ta có phương trình:

\(\frac{60}{x}-\frac{60}{x+10}=1\)

\(\Leftrightarrow60x+600-6x=x^2+10x\)

\(\Leftrightarrow x^2+10x-600=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x_1=20\\x_2=-30\left(loại\right)\end{cases}}\)

Vận tốc của Hằng là \(20+10=30\left(km/h\right)\)

Vậy vận tốc của Hằng là \(30km/h\); của Lan là \(20km/h\)

Hmmm mới nghĩ ra cách trình bày ngắn hơn nè :))

\(s_L=v_Lt=\frac{120}{2}=60\)

\(\Rightarrow t=\frac{60}{v_L}\)

\(s_H=v_Ht=\left(v_L+10\right)\left(t-1\right)\)

\(\frac{120}{2}=\left(v_L+10\right)\left(\frac{60}{v_L}-1\right)\)

\(\Rightarrow v_L=20km/h\)

\(\Rightarrow v_H=20+10=30km/h\)

Vậy ......................

\(VT=\frac{1}{2}\sqrt{\left(2a-4\right).4}+\frac{1}{3}\sqrt{\left(3b-9\right)9}+\frac{11a+7b}{2}\le6a+4b\)

Cần CM \(6a+4b\le ab+24\)\(\Leftrightarrow\)\(\left(a-4\right)\left(6-b\right)\le0\) đúng với \(a\ge4;b\ge6\)

"=" \(\Leftrightarrow\)\(a=4;b=6\)