a/ Gọi \(F\in BC/A\widehat{D}B=F\widehat{D}C\)

Xét \(\Delta ADB\)và\(\Delta FDC\)ta có

\(\hept{\begin{cases}A\widehat{D}B=F\widehat{D}C\\B\widehat{A}D=F\widehat{C}D\end{cases}}\)(2 góc n.t chắn cung BD)

\(=>\Delta ADB\)đồng dạng \(\Delta CDF\)

=>\(\frac{AB}{CF}=\frac{DA}{DC}\left(1\right)\)

Xét \(\Delta DAK\)và \(\Delta DCH\)ta có

\(K\widehat{A}D=H\widehat{C}D\)(2 góc n.t chắn cung BD)

\(A\widehat{K}D=C\widehat{H}D\left(=90^0\right)\)

=>\(\Delta DAK\)đồng dạng \(\Delta DCH\)(g-g)

=>\(\frac{DA}{DC}=\frac{DK}{DH}\left(2\right)\)

(1) và (2) =>  \(\frac{AB}{CF}=\frac{DK}{DH}\)=>\(\frac{AB}{DK}=\frac{CF}{DH}\left(3\right)\)

C/m tương tự => \(\frac{AC}{DI}=\frac{BF}{DH}\left(4\right)\)

(3),(4) => \(\frac{AC}{DI}+\frac{AB}{DK}=\frac{CF}{DH}+\frac{BF}{DH}=\frac{BC}{DH}\left(đpcm\right)\)

b/ Xét tứ giác BKDH ta có : \(B\widehat{K}D+B\widehat{H}D=180^0\)

=> Tứ giác BKDH n.t => \(K\widehat{B}D=K\widehat{H}D\)

                                Mà   \(K\widehat{B}D=I\widehat{C}D\)( tứ giác ABDC n.t (O))

                                Nên \(K\widehat{H}D=I\widehat{C}D\left(5\right)\)

Xét tứ giác IHDC ta có : \(D\widehat{H}C=D\widehat{IC}\left(=90^0\right)\)

=> Tứ giác IHDC n.t => \(I\widehat{C}D+I\widehat{H}D=180^0\left(6\right)\)

(5),(6) => \(K\widehat{H}D+I\widehat{H}D=180^0\)=> H,I,K thẳng hàng

Đường thẳng simson thôi

Mơn bạn nhìu

c, Để chứng minh 4 điểm B,C,M,F cùng thuộc 1 đường tròn thì ta cần chứng minh tứ giác BCMF nội tiếp

C/m bằng cách : tổng 2 góc đối bằng 180^o

Vì tứ giác ABEF nội tiếp => ^AFB = ^AEB

Mà ^AEB = ^CED (Đối đỉnh)

=>^AFB = ^CED

Vì tứ giác CEFD nội tiếp

=> ^CED = ^CFD

Do đó ^AFB = ^CFD

Dễ thấy tứ giác CEFD nội tiếp (M)

=> MC = MF

=> ^MCF = ^MFC

Vì CEFD nội tiếp

=>^ECF = ^EDF

Mà ^EDF = ^MFD ( tam giác MDF cân tại M)

=> ^ECF = ^MFD

Vì CA là phân giác ^BCF => ^BCA = ^ECF = ^MFD

Ta có : ^AFB + ^BFC + ^CFM + ^MFD = 180^o

<=> ^CFD +  ^BFM + ^MFD = 180^o

<=> ^CFM + ^MFD + ^BFM + ^ACB = 180^o

<=> ^FCM + ^ACF + ^BFM + ^ACB = 180^o

<=> ^BFM + ^BCM = 180^o

=> Tứ giác BCMF nội tiếp (Đpcm)

Bài này chuyển góc hơi rắc rối tí -.-