Cho tam giác KLM nhọn cố định. Giả sử đường tròn \(\Omega\)di động nhưng luôn đi qua 2 điểm L và M. Dựng đường tròn (S) bên trong tam giác KLM đồng thời tiếp xúc với KL,KM và \(\Omega\) lần lượt ở Q,R,T. Chứng minh phân giác của góc LTM luôn đi qua điểm cố định.
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Vì (a-b)2 \(\ge\)0 \(\forall\)a,b\(\Rightarrow\)a2+b2 \(\ge\)2ab. Mà ab=4\(\Rightarrow\)a2+b2 \(\ge\)8.
\(\Rightarrow\)P=\(\frac{\left(a+b-2\right)\left(a^2+b^2\right)}{a+b}\)\(\ge\)\(\frac{\left(a+b-2\right).8}{a+b}\)
Đặt t=a+b\(\Rightarrow\)t\(\ge\)4 (Do a+b \(\ge\)2\(\sqrt{ab}\)= 4)
\(\Rightarrow\)P=\(\frac{\left(t-2\right).8}{t}\) = \(\frac{8t-16}{t}\)=\(8-\frac{16}{t}\)
Vì t\(\ge\)4 \(\Rightarrow\)\(\frac{16}{t}\le\frac{16}{4}=4\)\(\Rightarrow-\frac{16}{t}\ge-4\)\(\Rightarrow\left(8-\frac{16}{t}\right)\ge8-4=4\)
\(\Rightarrow P\ge4.\)Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a=b\\a.b=4\end{cases}\Leftrightarrow a=b=2}\)
Vậy P min = 4 \(\Leftrightarrow\)a=b=2.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
ta co:\(y^2\sqrt{x-2}-2y+\sqrt[]{x-2}=0\)
xét denta:\(\Delta=b^2-4ac=4-4.\left(x-2\right)=4\left(3-x\right)\)
để có y thỏa mãn => denta >=0
=>\(3>=x\)
=>dpcm
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
bn dua vao day nay :https://olm.vn/hoi-dap/detail/105816822455.html
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có: ^LST = ^LRT = ^AKT hay ^LST = ^SKA. Do SA là tiếp tuyến của (O) nên ^ASK = ^TLS
Xét \(\Delta\)SAK và \(\Delta\)LTS: ^LST = ^SKA, ^ASK = ^TLS => \(\Delta\)SAK ~ \(\Delta\)LST (g.g)
Suy ra: \(\frac{ST}{KA}=\frac{LS}{SK}\) hay \(\frac{SK}{2.KA}=\frac{LS}{2.TK}\) => \(\frac{SK}{KA}=\frac{LS}{TK}\)
Mà ^LSK = ^TKA (^LST = ^AKT) nên \(\Delta\)SLK ~ \(\Delta\)KTA (c.g.c) => ^LKS = ^TAK
Từ đó: ^TKL = ^TAK = 1/2.Sđ(TK(RKT) => KL tiếp xúc với (RKT) (đpcm).
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Tổng vận tốc của An và Bình là: \(150:2=75\left(km/h\right)\)
Gọi vận tốc của An là a (km/h) thì vận tốc của Bình là: 75 - a (km/h)
Ta có: \(a+5=2\left(75-a-5\right)\)
\(\Leftrightarrow a+5=140-2a\Leftrightarrow a+2a=140-5\Leftrightarrow3a=135\Leftrightarrow a=45\) (thỏa mãn)
Vây vận tốc của An là 45 km/h
Vận tốc của Bình là: 75 - 45 = 30 (km/h)
Gọi I là tâm nội tiếp \(\Delta\)KLM. Ta sẽ chứng minh TI là phân giác ^LTM. Thật vây:
Kéo dài tia QT cho cắt \(\Omega\) tại điểm thứ hai là G. Đường thẳng MG và RQ cắt nhau ở V.
Do (S) tiếp xúc ngoài với \(\Omega\) nên Sđ(QT(S) = Sđ(MG\(\Omega\) => ^TRQ = ^TLG => ^TRQ = ^TMV
=> Tứ giác MVRT nội tiếp => ^MTV = ^MRV = ^KRQ = ^RQT hay ^GVT = ^GQV
=> \(\Delta\)GVT ~ \(\Delta\)GQV (g.g) => GV2 = GT.GQ. Tương tự: GF2 = GL2 = GT,GQ => GV=GF=GL
Kẻ tia đối Mx của ML thì ta có: ^xMV = ^GML = ^GFL = ^GLF (Vì GF=GL) = ^FMV => MV là phân giác ^FMx
Mặt khác: ^VFM = ^GFV - ^MFG = (1800 - ^FLM - 2.^MLG)/2 = (1800 - ^FLG - ^MLG)/2 = (^FML + ^FLM)/2
=> ^VFM = ^VFK/2 => FV là phân giác ^MFK. Từ đó: V là tâm bàng tiếp ứng đỉnh L của \(\Delta\)FLM
=> LV là phân giác ^MLF hay ^KLM => L,I,V thẳng hàng => ^MIV = (^KML+KLM)/2 = 900 - ^LKM/2 = ^MRV
Suy ra: Tứ giác MIRV nội tiếp. Kết hợp tứ giác MVRT nội tiếp => 5 điểm M,I,T,R,V cùng thuộc 1 đường tròn
=> Tứ giác MITV nội tiếp => ^MTI = ^MVI. Hoàn toàn tương tự, ta cũng có: ^LTI = ^LUI
Ta lại có: ^RVI = ^RMI = ^LMI => ^UVL = ^UML => Tứ giác LUVM nội tiếp => ^MVL = ^LUM hay ^MTI = ^LUI
Do đó: ^MTI = ^LTI. Vì vậy: TI là phân giác của ^LTM. Mà I cố định nên ta có ĐPCM.