Tìm Min của \(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\) với x + y + z = 2 ?

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{2^2}{2\cdot2}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=z=\frac{2}{3}\)

Hoặc có thể làm theo cách dụng Cauchy như sau

Ta có: \(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y+z}\cdot\frac{y+z}{4}}=2\cdot\frac{x}{2}=x\)

Tương tự CM được: \(\frac{y^2}{z+x}+\frac{z+x}{4}\ge y\) ; \(\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge z\)

Cộng vế lại ta được: \(\left(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\right)+\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\ge x+y+z\)

\(\Rightarrow\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)=1\)

Dấu "=" xảy ra khi: x = y = z = 2/3

x là một số nào đó trong dãy số tuwh nhiên và y cũng như vậy

bạn ghi câu trên vào vở đi mình không nói dối đâu thật đó mình học rồi nên mình biết

Ko biết Anh ơi

\(A=1-\frac{2}{3}+1-\frac{2}{15}+1-\frac{2}{35}+1-\frac{2}{63}+1-\frac{2}{99}+1-\frac{2}{143}\)      

\(=1+1+1+1+1+1-\frac{2}{3}-\frac{2}{15}-\frac{2}{35}-\frac{2}{63}-\frac{2}{99}-\frac{2}{143}\)   

\(=6-\left(\frac{2}{3}+\frac{2}{15}+\frac{2}{35}+\frac{2}{63}+\frac{2}{99}+\frac{2}{143}\right)\)   

\(=6-\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+...+\frac{1}{11}-\frac{1}{13}\right)\)   

\(=6-\left(1-\frac{1}{13}\right)\)   

\(=6-1+\frac{1}{13}\)   

\(=5+\frac{1}{13}\)   

\(=\frac{65}{13}+\frac{1}{13}\)   

\(=\frac{66}{13}\)

\(\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+...+\frac{1}{x\cdot\left(x+1\right)}=\frac{2020}{2021}\)    

\(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}=\frac{2020}{2021}\)   

\\(1-\frac{1}{x+1}=\frac{2020}{2021}\)   

\(\frac{1}{x+1}=1-\frac{2020}{2021}\)   

\(\frac{1}{x+1}=\frac{1}{2021}\)   

\(\Rightarrow x+1=2021\)   

\(x=2021-1\)   

\(x=2020\)

đk: \(x\ne\left\{0;-1\right\}\)

Ta có: \(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{x\left(x+1\right)}=\frac{2020}{2021}\)

\(\Leftrightarrow1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}=\frac{2020}{2021}\)

\(\Leftrightarrow1-\frac{1}{x+1}=\frac{2020}{2021}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{x+1}=\frac{2020}{2021}\)

\(\Leftrightarrow2021x=2020x+2020\)

\(\Rightarrow x=2020\)

1) Ta có: \(\left|9y-1\right|+\left(2x+3\right)^2=0\)

Mà \(\hept{\begin{cases}\left|9y-1\right|\ge0\\\left(2x+3\right)^2\ge0\end{cases}}\left(\forall x,y\right)\)

=> \(\left|9y-1\right|+\left(2x+3\right)^2\ge0\left(\forall x,y\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}\left|9y-1\right|=0\\\left(2x+3\right)^2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}9y-1=0\\2x+3=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-\frac{3}{2}\\y=\frac{1}{9}\end{cases}}\)

Vậy \(\hept{\begin{cases}x=-\frac{3}{2}\\y=\frac{1}{9}\end{cases}}\)

2)

a) Ta có: \(\left[\left(-\frac{1}{3}\right)^7\right]^4=\left(\frac{1}{3}\right)^{28}=\frac{1}{3^{28}}\)

và \(\left[\left(-\frac{1}{2}\right)^{14}\right]^2=\left(\frac{1}{2}\right)^{28}=\frac{1}{2^{28}}\)

Vì \(\frac{1}{3^{28}}< \frac{1}{2^{28}}\Rightarrow\left[\left(-\frac{1}{3}\right)^7\right]^4< \left[\left(-\frac{1}{2}\right)^{14}\right]^2\)

b) Ta có: \(\left(-\frac{2}{3}\right)^{12}=\left[\left(-\frac{2}{3}\right)^2\right]^6=\left(\frac{4}{9}\right)^6\)

Ta thấy \(0< \frac{4}{9}< 1\)\(\Rightarrow\left(\frac{4}{9}\right)^6>\left(\frac{4}{9}\right)^7\)

\(\Rightarrow\left(-\frac{2}{3}\right)^{12}>\left(\frac{4}{9}\right)^7\)

Trả lời :

a, Các tỉ lệ thức lập được :

\(\frac{6}{42}=\frac{9}{63},\frac{6}{63}=\frac{9}{42},\frac{63}{6}=\frac{42}{9},\frac{42}{6}=\frac{63}{9}\)

b, Các tỉ lệ thức lập được :

\(\frac{1.61}{0.84}=\frac{0.46}{0.24},\frac{0.84}{1.61}=\frac{0.24}{0.46},=\frac{1.61}{0.24}=\frac{0.46}{0.84},\frac{0.24}{1.61}=\frac{0.84}{0.46}\)

Tự quy đổi ra phân số.

\(7^{24}=\left(7^3\right)^8=343^8\)

\(3^{30}=\left(3^5\right)^6=243^6\)

\(\Rightarrow7^{24}>3^{30}\)

Ta có : 7²⁴=7^4.6=(7⁴)⁶=2401⁶

            3³⁰=3^5.6=(3⁵)⁶=243⁶

Mà 2401⁶>243⁶

=> 7²⁴>3³⁰