\(\left(x-6\right)^3=\left(x-6\right)^2\)

Đặt \(x-6=a\)\(\Leftrightarrow a^3=a^2\)\(\Leftrightarrow a^3-a^2=0\)\(\Leftrightarrow a^2\left(a-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a^2=0\\a-1=0\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=0\\a=1\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-6=0\\x-6=1\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=6\\x=7\end{cases}}\)(nhận)

Vậy \(x\in\left\{6;7\right\}\)

\(S=5+5^2+5^3+....+5^{99}+5^{100}\)

\(=5.\left(1+5\right)+5^3.\left(1+5\right)+...+5^{99}.\left(1+5\right)\)

\(=5.6+5^3.6+...+5^{99}.6\)

\(=6.\left(5+5^3+...+5^{99}\right)⋮6\)

Vậy ta có điều phải chứng minh

vậy tìm số dư khi s chia cho 31

Ta có: Từ 1 đến 9 có số chữ số là: (9-1) +1 =9 (chữ số).

Từ 10 đến 99 có số các số hạng là: (99 - 10) +1 =90(số hạng)

Mà 10 đến 99 là các số có 2 chữ số nên có số các chữ số là: 90. 2= 180( chữ số)

Từ 100 đến 999 có số các  số hạng là:(999 - 100) +1=900 (số hạng)

Từ 100 đến 999 là các số có 3 chữ số nên 900 . 3= 2700 (chữ số)

Từ 1000 đến 9999 có số các số hạng là: (9999 -1000) +1 =9000(số hạng)

Có số các chữ số là 9000. 4 =36000 Chữ số

Vậy từ 1 đến 9999 có số các chữ số là: 9 + 180 + 2700 + 36000 = 38889 (chữ số)