Bài 3. (1 điểm) Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ thỏa mãn: $\left| \overrightarrow{a} \right|=1, \, \left| \overrightarrow{b} \right|=2, \, \left| \overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b} \right|=\sqrt{15}.$

a) Tính $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$.

b) Xác định $k$ để góc giữa $\left( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right)\left( 2k\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right)$ bằng ${{60}^{\circ }}$.

Bài 2. (1 điểm) Một tàu du lịch chạy với tốc độ trung bình $15$ hải lí/giờ khi đi từ San Juan, Puerto Rico, đến Barbados, Tây Ấn Độ, với khoảng cách $600$ hải lí. Để tránh một cơn bão nhiệt đới, thuyền trưởng cho thuyền rời San Juan theo hướng lệch một góc $20^\circ$ so với hướng đi thẳng đến Barbados. Thuyền trưởng duy trì tốc độ $15$ hải lí/giờ trong $10$ giờ, sau đó thuyền trưởng cho tàu đi thẳng đến Barbados thì không gặp bão.

Tính góc mà thuyền trưởng bẻ lái để đi thẳng đến Barbados?

Bài 1. Bác Nam dự định trồng ớt và cà trên diện tích $8a$ ($1a=100{{m}^{2}}$). Nếu trồng ớt thì cần $20$ công và thu lãi $3$ $000$ $000$ đồng trên mỗi $a$, nếu trồng cà thì cần $30$ công và thu lãi $4$ $000$ $000$ đồng trên mỗi $a$. Biết tổng số công cần dùng không được vượt quá $180$. Tính số tiền lãi lớn nhất thu được.

Bài 2. (1 điểm) Một tình huống trong huấn luyện pháo binh được mô tả như hình vẽ dưới đây:

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, khẩu đại bác được biểu thị bằng điểm $O\left( 0;0 \right)$ và bia mục tiêu được biểu thị bằng đoạn thẳng $MN$ với $M\left( 2 \, 100;25 \right)$ và $N\left( 2 \, 100;15 \right)$. Xạ thủ cần xác định parabol $y=-{{a}^{2}}{{x}^{2}}+10ax, \, \left( a>0 \right)$ mô tả quỹ đạo chuyển động của viên đạn sao cho viên đạn bắn ra từ khẩu đại bác phải chạm vào bia mục tiêu. Tìm giá trị lớn nhất của $a$ để xạ thủ đạt được mục đích trên.