a) x(x - 2) + (x - 2) = 0

=> (x + 1)(x - 2) = 0

=> \(\orbr{\begin{cases}x+1=0\\x-2=0\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=-1\\x=2\end{cases}}\)

Vậy \(x\in\left\{-1;2\right\}\)

b) \(\frac{2}{3}x\left(x^2-4\right)=0\)

=> x(x² - 4) = 0

=> \(\orbr{\begin{cases}x=0\\x^2-4=0\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x^2=2^2\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=\pm2\end{cases}}\)

g) (x + 2)² - x + 4 = 0

=> x² + 4x + 4 - x + 4 = 0

=> x² + 3x + 8 = 0

=> (x² + 3x + 9/4) + 23/4 = 0

=> (x + 3/2)² + 23/4 \(\ge\frac{23}{4}>0\)

=> Phương trình vô nghiệm

h) (x + 2)² = (2x - 1)² 

=> (x + 2)² - (2x - 1)² = 0

=> (x + 2 - 2x + 1)(x + 2 + 2x - 1) = 0

=> (-x + 3)(3x + 1) = 0

=> \(\orbr{\begin{cases}-x+3=0\\3x+1=0\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=3\\x=-\frac{1}{3}\end{cases}}\)

=> \(x\in\left\{3;-\frac{1}{3}\right\}\)

a) x( x - 2 ) + x - 2 = 0

⇔ x( x - 2 ) + 1( x - 2 ) = 0

⇔ ( x - 2 )( x + 1 ) = 0

⇔ \(\orbr{\begin{cases}x-2=0\\x+1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=2\\x=-1\end{cases}}\)

b) 2/3x( x² - 4 ) = 0

⇔ \(\orbr{\begin{cases}\frac{2}{3}x=0\\x^2-4=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=\pm2\end{cases}}\)

g) ( x + 2 )² - x + 4 = 0

⇔ x² + 4x + 4 - x + 4 = 0

⇔ x² + 3x + 8 = 0 (*)

Ta có : x² + 3x + 8 = ( x² + 3x + 9/4 ) + 23/4 = ( x + 3/2 )² + 23/4 ≥ 23/4 > 0 ∀ x

=> (*) không xảy ra 

=> Pt vô nghiệm

h) ( x + 2 )² = ( 2x - 1 )²

⇔ ( x + 2 )² - ( 2x - 1 )² = 0

⇔ [ ( x + 2 ) - ( 2x - 1 ) ][ ( x + 2 ) + ( 2x - 1 ) ] = 0

⇔ ( x + 2 - 2x + 1 )( x + 2 + 2x - 1 ) = 0

⇔ ( 3 - x )( 3x + 1 ) = 0

⇔ \(\orbr{\begin{cases}3-x=0\\3x+1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=3\\x=-\frac{1}{3}\end{cases}}\)

\(a+3\text{ chia hết cho 5 do đó:}a\text{ chia 5 dư 2};\text{ }b+4\text{ chia hết cho 5 nên }b\text{ chia 5 dư 1}\)

\(\text{ do đó:}a^2+b^2\equiv2^2+1^2\equiv5\equiv0\left(\text{mod 5}\right)\text{ ta có điều phải chứng minh}\)

Vì \(a+3⋮5\)\(\Rightarrow\)\(a\)có dạng \(a=5m+2\)( \(m\inℤ\))

    \(b+4⋮5\)\(\Rightarrow\)\(b\)có dạng \(b=5n+4\)( \(n\inℤ\) )

\(a^2+b^2=\left(5m+2\right)^2+\left(5n+1\right)^2\)

\(=25m^2+20m+4+25n^2+10n+1\)

\(=25m^2+20m+25n^2+10n+5⋮5\)( đpcm )

Ta có: \(x^3+y^3+z^2=3xyz+1\)

   \(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3+z^3-3xy\left(x+y\right)-3xyz=1\)

   \(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^3-3xy\left(x+y+z\right)-3z\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)=1\)

   \(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left[\left(x+y+z\right)^2-3\left(zx+zy\right)-3xy\right]=1\)

   \(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left[x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx-3xy-3yz-3zx\right]=1\)

   \(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)=1\)

Đến đây các bạn tự giải nhé ^_^

Bn gì ơi, đây kh pk mk nhờ bn giải hộ, mk nổi hứng đăng câu hỏi lên thôi nên lm hết đi nhá

Sử dụng BĐT Cauchy Schwarz ta dễ có:

\(P=\frac{x^2\left(x-1\right)+y^2\left(y-1\right)}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}\)

\(=\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\)

\(\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\)

Ta cần chứng minh: \(\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\ge8\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-8\left(x+y\right)+16\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-4\right)^2\ge0\)( ĐPCM )

Có : \(P=\frac{\left(x^3+y^3\right)-\left(x^2+y^2\right)}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}\)

\(=\frac{x^2\left(x-1\right)+y^2\left(y-1\right)}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}=\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\)

Theo BĐT Cô - si ta có :

\(\frac{x^2}{y-1}+4\left(y-1\right)\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y-1}.4\left(y-1\right)}=4x\)

\(\frac{y^2}{x-1}+4\left(x-1\right)\ge4y\)

Do đó ; \(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}+4.\left(x+y-2\right)\ge4\left(x+y\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge8\)

Hay : \(P\ge8\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=2\)

Vậy \(P_{min}=8\) khi \(x=y=2\)

cungf lớp nek

Cái này làm sao mà phân tích được ;-; Tớ bày cách khác nhé :>

9x² + y² + 2z² - 18x + 4z - 6y + 20

= ( 9x² - 18x + 9 ) + ( y² - 6y + 9 ) + ( 2z² + 4z + 2 )

= ( 3x - 3 )² + ( y - 3 )² + 2( z² + 2z + 1 )

= ( 3x - 3 )² + ( y - 3 )² + 2( z + 1 )²

Ta có: \(\frac{x^2}{yz}+\frac{y^2}{xz}+\frac{z^2}{xy}\Rightarrow x^3+y^3+z^3-3xyz=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=y=z\\x+y+z=0\end{cases}}\)

Vì nghiệm của phương trình là bộ ba số khác O nên các số a,b,c là ba số khác nhau và khác O

+) Nếu: \(\frac{a}{b-c}=\frac{b}{c-a}=\frac{c}{a-b}=k\ne0\Rightarrow a=k\left(b-c\right);b=k\left(c-a\right);c=k\left(a-b\right)\)

\(\Rightarrow a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c\)

Từ: \(\frac{a}{b-c}=\frac{b}{c-a}\Rightarrow\frac{a}{b+a+b}=\frac{b}{-a-b-a}\Rightarrow\left(a+b\right)^2+a^2+b^2=0\)

\(\Rightarrow a=b=0\Rightarrow a=b=c=0\)(loại)

+) Nếu: \(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0\Rightarrow\frac{a}{b-c}=\frac{b}{a-c}+\frac{c}{b-a}=\frac{b\left(b-a\right)+c\left(a-c\right)}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{\left(b-c\right)^2}=\frac{b^2-ba+ca-c^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\left(1\right)\)

Tương tự ta có: \(\frac{b}{\left(c-a\right)^2}=\frac{c^2-cb+ab-a^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\left(2\right);\frac{c}{\left(a-b\right)^2}=\frac{a^2-ac+bc-b^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\left(3\right)\)

Từ (1),(2) và (3) \(\Rightarrow\frac{a}{\left(b-c^2\right)}+\frac{b}{\left(c-a\right)^2}+\frac{c}{\left(a-b\right)^2}=0\)

Đặt \(m=\frac{a}{\left(b-c\right)^2};n=\frac{b}{\left(c-a\right)^2};p=\frac{c}{\left(a-b\right)^2}\Rightarrow m+n+p=0\)

\(\Rightarrow m^3+n^3+p^3=3mnp\Rightarrow\frac{m^2}{np}+\frac{n^2}{mp}+\frac{p^2}{mn}=3\left(ĐPCM\right)\)

bó tay! =_=

thiếu đề nx kìa :v

a) x² - 12x + 33

= ( x² - 12x + 36 ) - 3

= ( x - 6 )² - 3 ≥ -3 ∀ x

Đẳng thức xảy ra <=> x - 6 = 0 => x = 6

Vậy GTNN của biểu thức = -3 <=> x = 6 

b) 9x² - 6x + 5

= ( 9x² - 6x + 1 ) + 4

= ( 3x - 1 )² + 4 ≥ 4 ∀ x 

Đẳng thức xảy ra <=> 3x - 1 = 0 => x = 1/3

Vậy GTNN cua biểu thức = 4 <=> x = 1/3

c) x² + x + 3

= ( x² + x + 1/4 ) + 11/4

= ( x + 1/2 )² + 11/4 ≥ 11/4 ∀ x

Đẳng thức xảy ra <=> x + 1/2 = 0 => x = -1/2

Vậy GTNN của biểu thức = 11/4 <=> x = -1/2