\(Q\left(x\right)=\left(x-2\right)^2-2x\left(3x-2\right)\)

             \(=x^2-4x+4-6x^2+4x\)

             \(=-5x^2+4\)

Thay x = -1 vào Q(x) ta có :

\(Q\left(-1\right)=-5.\left(-1\right)^2+4=-5.1+4=-5+4=-1\)

Vậy tại x = -1 thì Q(x) = -1

\(x\left(x+1\right)-x\left(x+3\right)=0\Leftrightarrow x^2+x-x^2-3x=0\)

\(\Leftrightarrow-2x=0\Leftrightarrow x=0\)

Vậy x=0 

\(x\left(x+1\right)-x\left(x+3\right)=0\)   

\(x\left[\left(x+1\right)-\left(x+3\right)\right]=0\)   

\(x\left(x+1-x-3\right)=0\)   

\(x\cdot\left(-2\right)=0\)   

\(x=0:\left(-2\right)\)   

\(x=0\)

Ta có : x³ + x = 0

=> x(x² + 1) = 0

=> x = 0 (Vì x² + 1 \(\ge1>0\forall x\))

Vậy x = 0

Ta có : x³ + x = 0

<=> x( x² + 1 ) = 0

<=> x = 0 hoặc x² + 1 = 0

Vì x² + 1 ≥ 1 > 0 ∀ x

<=> x = 0

Vậy x = 0

6x²y + 9xy² - 12xy

= 3xy(2x + 3y - 4)

\(x\left(x^2-y\right)-x^2\left(x-y\right)+1817\)

\(=x^3-xy-\left(x^3-x^2y\right)+1817\)

\(=x^3-xy-x^3+x^2y+1817\)

\(=xy\left(x-1\right)+1817\)

Thế \(x=-1\)và \(y=100\)vào biểu thức sau khi rút gọn ta được: 

\(\left(-1\right).100.\left[\left(-1\right)-1\right]+1817=-100.\left(-2\right)+1817=2017\)

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có 

\(\Sigma_{cyc}\sqrt{a+b^2}=\Sigma_{cyc}\frac{a+b^2}{\sqrt{a+b^2}}=\Sigma_{cyc}\frac{\left(a+b\right)\left(a+b^2\right)}{\left(a+b\right)\sqrt{a+b^2}}\ge\Sigma_{cyc}\frac{2\left(a+b\right)\left(a+b^2\right)}{\left(a+b\right)^2+a+b^2}\)

\(=\Sigma_{cyc}\frac{2\left(a+b\right)\left(a\left(a+b+c\right)+b^2\right)}{\left(a+b\right)^2+a\left(a+b+c\right)+b^2}=\Sigma_{cyc}\frac{2\left(a+b\right)\left(a^2+b^2+ab+ac\right)}{2a^2+2b^2+3ab+ac}\)

Như thế ta chỉ cần chứng minh

                     \(\Sigma_{cyc}\frac{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2+ab+ac\right)}{2a^2+2b^2+3ab+ac}\ge a+b+c\)

\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}a^5b^2+\Sigma_{cyc}a^4b^2c+2\Sigma_{cyc}a^5bc\ge2\Sigma_{cyc}a^3b^3c+2\Sigma_{cyc}a^3b^3c^2\)

\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left(\frac{19}{6}a^5b^2+\frac{4}{19}b^5c^2+\frac{6}{19}c^5a^2-a^3b^2c^2\right)+abc\left(\Sigma_{cyc}a^3b-\Sigma_{cyc}a^2bc\right)+2abc\)\(\left(\Sigma_{cyc}a^4-\Sigma_{cyc}a^2b^2\right)\ge0\)

Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên ta có đpcm.Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)Hoặc \(a=1,b=c=0\) Và các hoán vị