= ɬųყɧყ℘

Ŋɧą

chị gisp em bài này

Có: \(xy+\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}=\sqrt{2019}\)

\(\Leftrightarrow\left[xy+\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\right]^2=2019\)

\(\Leftrightarrow x^2y^2+\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)+2xy\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}=2019\)

\(\Leftrightarrow x^2y^2+x^2y^2+x^2+y^2+1+2xy\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}=2019\)

\(\Leftrightarrow y^2\left(1+x^2\right)+x^2\left(1+y^2\right)+1+2xy\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}=2019\)

\(\Leftrightarrow\left[y\left(1+x^2\right)+x\left(1+y^2\right)\right]^2=2018\)

\(\Leftrightarrow y\left(1+x^2\right)+x\left(1+y^2\right)=\sqrt{2018}\)

hay \(A=\sqrt{2018}\)

Bài này chỉ đơn giản là Cô si ngược dấu, mà thêm tên t vào làm cái qq gì-_-

tth_new bác này ở trình khác r.

\(\frac{a}{b^2+1}=\frac{a\left(b^2+1\right)-ab^2}{b+1}=a-\frac{ab^2}{b+1}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\)

Tương tự 

\(\frac{b}{c^2+1}\ge b-\frac{bc}{2};\frac{c}{a^2+1}\ge c-\frac{ca}{2}\)

Cộng lại \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge\left(a+b+c\right)-\frac{ab+bc+ca}{2}\)

Mà \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=3\)

Khi đó \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\left(đpcm\right)\)

Dấu "=" xảy ra tại a=b=c=1

\(Q=a^3+b^3=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)\)

3ab(a+b) chia hết cho 6 vs mọi a,b nên muốn Q chia hết cho 6 <=> a+b chia hết cho 6

a) Ta có : OB - O'B = OO'

=> đường tròn (O) và (O'O tiếp xúc trong

b) Ta có : \(OA\perp DE\left(gt\right)\)

=> HD = HE hay H là trung điểm của DE

Theo (gt) : HA = HC

T/g ADCE có 2 đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường

=> T/g ADCE là hình thoi

c) Xét tam giác KBC có :

O'K = O'B = O'C (=bk)

\(\Rightarrow O'K=\frac{1}{2}BC\)

=> Tam giác KBC vuông tại K => \(CK\perp DB\left(1\right)\)

Xét tam giác ADB có :

OD = OA = OB ( =bk )

\(\Rightarrow OD=\frac{1}{2}AB\)

=> Tam giác ADB vuông tại D \(\Rightarrow AD\perp DB\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => CK // AD (*)

Theo  ( c/m câu a ) : Tứ giác ADCE là hình thoi

                              => CE // AD ( ** )

Từ (*) và (**) => CE và CK là 2 đường thẳng trùng nhau

Vậy : 3 điểm E , C , K thẳng hàng ( đpcm )

a. hai đường tròn tiếp xúc trong

b.ADCE là tứ giác thoi do có hai đường chéo vuông góc vcowis nhau tại trung điểm của mỗi đường

c. ta dễ thấy AD//CẺ mà AE vuông gó c với BD nên CE vuông BD

mà CK cũng vuông góc với BD nến C,K,E thẳng hàng 

d. ta có do tam giác EKD vuông nên \(HK^2=HD^2=HA.HB=HC.HB\)

do \(HK^2=HC.HB\) nên HK là tiếp tuyến của O'

Từ \(\frac{x}{x^2+x+1}=\frac{1}{4}\Rightarrow x^2+x+1=4x\)

\(\Rightarrow x^2-3x+1=0\)

Khi đó : 

\(Q=x^5-4x^3-3x=x^3\left(x^2-3x+1\right)+3x^4-5x^3-3x\)

\(=3x^4-5x^3-3x\)

\(=3x^2\left(x^2-3x+1\right)+4x^3-3x^2-3x=4x^3-3x^2-3x\)

\(=4x\left(x^2-3x+1\right)+9x^2-7x=9x^2-7x=9\left(x^2-3x+1\right)+20x-9\left(^∗\right)\)

Với \(x^2-3x+1=0\Rightarrow x=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}\)

Thay vào ( *) \(\Rightarrow Q=21\pm10\sqrt{5}\)

Chúc bạn học tốt !!!