Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt AC; BC  lần lượt tại M và N

Xét \(\Delta\)CMN có: CO là phân giác đồng thời là đường cao 

=> \(\Delta\)CMN cân 

=> ^CMN = ^CNM  => ^CMO = ^CNO  => ^AMO = ^BNO 

=> ^MAO + ^AOM = ^NBO + ^BON    ( 1)

Xét trong \(\Delta\)BOA ta có: ^ABO + ^BAO = ^AOM + ^BON ( = 180 \(^o\)- ^AOB ) 

=> ^NBO + ^MAO = ^AOM+ ^BON ( AO ; BO là phân giác ^A; ^B ) (2)

Từ (1)- (2) => ^AOM - ^NBO = ^NBO - ^AOM 

=> ^AOM = ^NBO  (3) 

Từ (3) dễ dàng chứng minh đươc \(\Delta\)AOM ~ \(\Delta\)OBN ~ \(\Delta\)ABO ( g-g ) ( tự chứng minh )

Có: \(\Delta\)AOM ~ ​\(\Delta\)OBN => \(\frac{AM}{ON}=\frac{OM}{BN}\)=> AM.BN = OM. ON​  (4)

Có: \(\Delta\)OBN ~ \(\Delta\)ABO => \(\frac{OB}{BN}=\frac{AB}{OB}\)=> OB.OB = AB.BN => \(\frac{OB^2}{AB.BC}=\frac{BN}{BC}\)(5)

Có: \(\Delta\)AOM ~ \(\Delta\)ABO => \(\frac{OA}{AM}=\frac{AB}{OA}\)=> OA.OA =AM.AB => \(\frac{OA^2}{AB.AC}=\frac{AM}{AC}\)(6)

Xét \(\Delta\)cân CMN có: OM = ON ; CM = CN 

Xét \(\Delta\)CON vuông tại O => CN\(^2\)= ON\(^2\)+ OC\(^2\)

=> OC \(^2\)= CN\(^2\)- ON\(^2\)= CN.CM  - ON.OM =  ( BC - BN ) ( AC - AM )  - ON.OM

= BC.AC - BN. AC - BC.AM + BN. AM - ON . OM  = BC. AC - BN.AC - BC.AM  ( theo 4 =>  BN. AM - ON . OM = 0)

=> \(\frac{OC^2}{CA.CB}=1-\frac{BN}{BC}-\frac{AM}{AC}\)(7)

Từ (5); (6) (7) => \(\frac{OC^2}{AC.BC}=1-\frac{OA^2}{AB.AC}-\frac{OB^2}{BA.BC}\)

Chuyển vế => Điều phải chứng minh

dùng cái này : \(\sin2\alpha=2sin\alpha.\cos\alpha\)

Phương trình (2) <=> x +3xy = 3xy + y + 5 

<=> x = y + 5 <=> x - y = 5

phương trình (1) <=>  (x - y ) \(^2\)=1 

Khi đó ta có: 5\(^2\)=1 vô lí

Em kiểm tra lại đề bài nhé!

dạ để em kiểm lại

\(3^x+171=y^2\)

+) Với x = 0 ta có: \(1+171=y^2\)( loại )

+) Với x = 1, ta có: \(3+171=y^2\)( loại )

+) Với x > 1.

pt <=> \(9\left(3^{x-2}+19\right)=y^2\)

=> \(3^{x-2}+19=z^2\)với \(y=3z\)( z là số tự nhiên )

+) TH1: \(x-2=2k+1\)( k là số tự nhiên )

Ta có: \(3^{2k+1}+19=z^2\)

có: \(3^{2k+1}+19⋮2\)

nhưng \(3^{2k+1}+19=3^{2k}.3+1+16+2\): 4 dư 2

=> \(3^{2k+1}+19\) không phải là số chính phương

Vậy loại trường hợp này

+) TH2: \(x-2=2k\)( k là số tự nhiên )

Ta có: \(3^{2k}+19=z^2\)

<=> \(\left(z-3^k\right)\left(z+3^k\right)=19\) (1)

z, 3^k là số tự nhiên nên ( 1) <=> \(\hept{\begin{cases}z+3^k=19\\z-3^k=1\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}z=10\\k=2\end{cases}}\)=> x = 6; y = 30. Thử lại thấy thỏa mãn

Vậy....

Đặt: \(A=\frac{\sqrt{4+\sqrt{3}}+\sqrt{4-\sqrt{3}}}{\sqrt{4+\sqrt{13}}}>0\)

<=> \(A.\sqrt{4+\sqrt{13}}=\sqrt{4+\sqrt{3}}+\sqrt{4-\sqrt{3}}\)

<=> \(A^2\left(4+\sqrt{13}\right)=4+\sqrt{3}+4-\sqrt{3}+2\sqrt{13}\)

<=> \(A^2\left(4+\sqrt{13}\right)=2\left(4+\sqrt{13}\right)\)

<=> \(A=\sqrt{2}\)

Vậy: \(\frac{\sqrt{4+\sqrt{3}}+\sqrt{4-\sqrt{3}}}{\sqrt{4+\sqrt{13}}}+\sqrt{27-10\sqrt{2}}\)

\(=\sqrt{2}+\sqrt{25-2.5.\sqrt{2}+2}\)

\(=\sqrt{2}+\left(5-\sqrt{2}\right)=5\)

Heron \(4\sqrt{3}S=\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-6\left(a^4+b^4+c^4\right)}\)

Cần CM: \(a^2+b^2+c^2\ge\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-6\left(a^4+b^4+c^4\right)}\)

\(\Leftrightarrow\)\(3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\) đúng (Cauchy-Schwarz)

Dấu "=" xảy ra khi ABC đều 

\(A=\sqrt{x^2-2x+1}+\sqrt{x^2+4x+4}\)

\(=\sqrt{\left(x-1\right)^2}+\sqrt{\left(x+2\right)^2}\)

\(=|1-x|+|x+2|\ge|1-x+x+2|=3\)

\(x\sqrt{x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}}=2\)

\(\Leftrightarrow x\sqrt{\left(\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2}\right)^2}=2\)

\(\Leftrightarrow x\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2}=2\)

\(\Leftrightarrow x\sqrt{x+\frac{1}{4}}=\frac{3}{2}\)

Làm nốt