\(A=\frac{a}{a-1}-\frac{a}{a+1}+\frac{2}{a^2-1}\left(ĐK:a\ne\pm1\right)\)

\(=\frac{a\left(a+1\right)-a\left(a-1\right)}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}+\frac{2}{a^2-1}\)

\(=\frac{a^2+a-a^2+a+2}{a^2-1}=\frac{2}{a-1}\left(Q.E.D\right)\)

Để A nguyên suy ra 2/a-1 nguyên

\(< =>2⋮a-1< =>a\in\left\{2;3;-1;0\right\}\)

Để \(A\ge1< =>\frac{2}{a-1}\ge1< =>2\ge a-1< =>a\le3\)

mấy bài khác để từ từ mình làm dần hoặc bạn khác làm

\(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\ge0\)

\(< =>2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)

\(< =>\left(a^2+b^2-2ab\right)+\left(b^2+c^2-2bc\right)+\left(c^2+a^2-2ca\right)\ge0\)

\(< =>\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)*đúng*

Vậy ta có điều phải chứng mịnh

\(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\ge0\)(*)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\ge0\)( Đúng )

Vậy (*) đúng

=> đpcm

Dấu " = " xảy ra <=> a = b = c 

Ta có: \(a^3+b^3+3\text{a}b-1\)

= \(\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+3ab-1\)

\(=\left[\left(a+b\right)^3-1\right]-3ab\left(a+b-1\right)\)

\(=\left(a+b-1\right)\left[\left(a+b\right)^2+\left(a+b\right)+1-3ab\right]\)

\(=\left(a+b-1\right)\left(a^2+b^2-ab+a+b+1\right)\)

Xét:  \(a^3+b^3+3\text{a}b-1\) là số nguyên tố với a; b là số nguyên dương 

+) Th1:  a + b - 1 = 1 và \(a^2+b^2-ab+a+b+1\) là số nguyên tố 

<=> a + b = 2 và  7 - 3ab là số nguyên tố 

Vì a; b nguyên dương  nên  a + b = 2 => a = b = 1 => 7 - 3ab = 7 - 3 = 4 không là số nguyên tố

=> Loại

+) Th2:  \(a^2+b^2-ab+a+b+1\) = 1 và a + b - 1 là số nguyên tố 

Ta có: \(a^2+b^2-ab+a+b+1=1\)

<=> \(a^2+\left(1-b\right)a+b^2+b=0\)

<=> \(a^2+2a\frac{\left(1-b\right)}{2}+\frac{\left(1-b\right)^2}{4}-\frac{1-2b+b^2}{4}+b^2+b=0\)

<=> \(\left(a+\frac{1-b}{2}\right)^2+\frac{3b^2+6b-1}{4}=0\)(1)

Với b nguyên dương ta có: \(b\ge1\Rightarrow\frac{3b^2+6b-1}{4}\ge2>0\)

=> (1) vô nghiệm 

=> Loại 

Vậy không tồn tại a; b nguyên dương

Gọi J,R lần lượt là giao điểm của AI, AK với BC.

Ta có biến đổi góc:^BAR=^BAH+^HAR=^ACR+^RAC=^ARB vì vậy tam giác ABR cân tại B suy ra BO đồng thời là đường cao

Tương tự thì CO là đường cao khi đó O là trực tâm của tam giác AIK

Vậy ta có đpcm

hình vẽ trong Thống kê hỏi đáp

bài 1:

AI _|_ BC tại I => \(\widehat{AIB}=\widehat{AIC}=90^o\)

BD _|_ AC tại D => \(\widehat{ADB}=\widehat{CDB}=90^o\)

xét tam giác AIC và tam giác BDC có \(\hept{\begin{cases}\widehat{AIB}=\widehat{AIC}=90^o\\\widehat{C}chung\end{cases}}\)

=> tam giác AIC đồng dạng với tam giác BCD (g-g)

b) xét tam giác ABC có AI và BD là 2 đường cao cắt nhau tại H => H là trực tâm tam giác ABC

=> CH _|_ AB => H là trực tâm tam giác ABC

xét tam giác CEB và tam giác IAB có: \(\hept{\begin{cases}\widehat{CEB}=\widehat{AIB}=90^o\\\widehat{B}chung\end{cases}\Rightarrow\Delta CEB~\Delta AIB\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{CB}{AB}=\frac{EB}{IB}}\)

=> CB.IB=EB.AB (1)

xét tam giác CIH và CEB có \(\hept{\begin{cases}\widehat{CIH}=\widehat{CEB}=90^o\\\widehat{C}chung\end{cases}\Rightarrow\Delta CIH~\Delta CEB\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{CI}{CE}=\frac{CH}{CB}}\)

=> CI.CB=CE.CH (2)

từ (1) và (2) => EB.AB+CH.CE=CB.IB+CI.CB

\(\Leftrightarrow BE\cdot BA+CH\cdot CE=\left(IB+IC\right)BC=BC^2\)

\(\Leftrightarrow BE\cdot BA+CH\cdot CE=BC^2\)

gọi Vn là thể tích nước chứa trong bình 

Vb là thể tích của bi nhôm , klr của nước và nhom lần lượt là Dn , Db , ndr lần lượt là cn , cb 

do bình chưa đầy nước nên khi thả viên bi vào lượng nước tràn ra có thể tích = thể tích của bi nhôm ( Vt ( V tràn ) = Vb) 

ta có ptcbn lần 1 

mbcb ( t-t1 ) = m'n.cn (t-t0 ) 

vs m'n là kl nước sau khi bị tràn 

<=> db.vb .cb(t-t1) = (vn-vb ) dncn(t1-t0)

thay số ta đc : Vb (188190cb+ 43260000) = 43260000vn (1)

- khi thả thêm 1 viên bi nữa ta có ptcbn 

(m'n.cn + mb.cb ) ( t2-t1 ) = mb.cb(t-t2 )

[(vn-2vb) dn.cn+db.vb.cb] (t2-t1 ) = db.vb.cb(t-t2)

thay số vào ta đc : vb ( 121770cb + 103320000) = 51660000vn (2) 

lấy (1) : (2 )  ta có

vb(188190cb+43260000)/ vb(121770cb+103320000) = 43260000vn/ 51660000vn 

=> cb = 501,7J/kg.k 

DÂN CHƠI KO TRẢ LỜI ĐC VÌ DÂN CHƠI CHƯA HỌC. MỚI  LỚP 7. CHỊU

Làm bừa thôi nhé:)

\(A=\sqrt{a^2+\frac{1}{a^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{b^2}}\)

\(\ge\sqrt{2\sqrt{a^2.\frac{1}{a^2}}}+\sqrt{2\sqrt{b^2.\frac{1}{b^2}}}\)

\(=\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=1\)

bổ sung thêm đk a+b=4

áp dụng bđt Bunhiacopxki ta có:

\(\hept{\begin{cases}\sqrt{a^2+\frac{1}{a^2}}=\frac{1}{\sqrt{17}}\sqrt{\left(a^2+\frac{1}{a^2}\right)\cdot\left(4^2+1^2\right)}\ge\frac{1}{\sqrt{17}}\left(4a+\frac{1}{a}\right)\\\sqrt{b^2+\frac{1}{b^2}}=\frac{1}{\sqrt{17}}\sqrt{\left(b^2+\frac{1}{b^2}\right)\left(4^2+1\right)}\ge\frac{1}{\sqrt{17}}\left(4b+\frac{1}{b}\right)\end{cases}}\)

khi đó ta được \(A\ge\frac{1}{\sqrt{17}}\left[4\left(a+b\right)+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\right]\)

ta để sy thấy \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)do đó áp dụng bđt Cauchy vfa giả thiết ta được

\(A\ge\frac{1}{\sqrt{17}}\left[4\left(a+b\right)+\frac{4}{a+b}\right]=\frac{1}{\sqrt{17}}\left[\frac{a+b}{4}+\frac{4}{a+b}+\frac{15\left(a+b\right)}{4}\right]\)\(\ge\frac{1}{\sqrt{17}}\left[2+15\right]=\sqrt{17}\)

dấu đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{a}{4}=\frac{1}{a}\\\frac{b}{4}=\frac{1}{b}\end{cases}\Leftrightarrow a=b=2}\)

a, \(\orbr{\begin{cases}2x-3=2x-3\left(yes\forall x\right)\\3-2x=2x-3< =>4x=6< =>x=\frac{3}{2}\end{cases}}\)

b,\(\orbr{\begin{cases}5x-4=4-5x< =>10x=8< =>x=\frac{4}{5}\\4-5x=4-5x\left(yes\forall x\right)\end{cases}}\)

c,\(\orbr{\begin{cases}2x+3=2x+2\\-2x-3=2x+2\end{cases}< =>\orbr{\begin{cases}1=0\left(vo-ly\right)\\4x=-5< =>x=-\frac{5}{4}\end{cases}}}\)

tự lm tiếp

d, \(\left|5x-3\right|=5x-5\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}5x-3=5x-5\\-5x+3=5x-5\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}2\ne0\\-10x+8=0\end{cases}\Leftrightarrow}x=\frac{4}{5}}\)

e, \(\left|x^2-3x+3\right|=-x^2+3x-1\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x^2-3x+3=-x^2+3x-1\\-x^2+3x-3=-x^2+3x-1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}2x^2-6x+4=0\\-2\ne0\end{cases}}\)Làm nốt nhé !

f, \(\left|x^2-9\right|=x^2-9\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x^2-9=x^2-9\\-x^2+9=x^2-9\end{cases}\Leftrightarrow-2x^2+18=0}\)

\(\Leftrightarrow-2x^2=-18\Leftrightarrow x^2=9\Leftrightarrow x=\pm3\)