Tập xác định D của hàm số là \(\left[-2;5\right]\)

Ta có: \(f'\left(x\right)=\frac{-2x+4}{2\sqrt{-x^2+4x+21}}-\frac{-2x+3}{2\sqrt{-x^2+3x+10}}\)với \(x\in\left(-2;5\right)\)

\(f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow\left(-2x+4\right)\sqrt{-x^2+3x+10}=\)\(\left(-2x+3\right)\sqrt{-x^2+4x+21}\)

Suy ra \(\left(-2x+4\right)^2\left(-x^2+3x+10\right)=\)\(\left(-2x+3\right)^2\left(-x^2+4x+21\right)\)(1)

Khai triển ta được: \(51x^2-104x+29=0\)

\(\Delta=104^2-4.51.29=4900,\sqrt{\Delta}=70\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{104+70}{102}=\frac{29}{17}\\x=\frac{104-70}{102}=\frac{1}{3}\end{cases}}\)

Thử lại chỉ có \(\frac{1}{3}\)là nghiệm của (1)

Lập bảng biến thiên của hàm số f(x) suy ra \(f\left(x\right)_{min}=f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{\sqrt{200}-\sqrt{98}}{3}\)

@ Cool@ Không sai. Làm thế cũng đc nhưng mà lớp 9 đã học đạo hàm đâu?

Phải cuối năm lớp 11 mới học  mà em,

De dung la:

\(\Sigma_{cyc}\frac{1}{1+a^2+b^2}\le\frac{9}{5}\)

\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{a^2+b^2}{1+a^2+b^2}\ge\frac{6}{5}\)

\(VT\ge\frac{\left(\Sigma_{cyc}\sqrt{a^2+b^2}\right)^2}{2\Sigma_{cyc}a^2+3}\left(M\right)\)

Consider:

\(VT_M\ge\frac{6}{5}\)

\(5\Sigma_{cyc}\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)}\ge\Sigma_{cyc}a^2+9\)

Consider:

\(5\Sigma_{cyc}\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)}\ge5\Sigma_{cyc}a^2+5\Sigma_{cyc}ab=5\Sigma_{cyc}a^2+5\)

Gio can cung minh:

\(5\Sigma_{cyc}a^2+5\ge\Sigma_{cyc}a^2+9\)

\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}a^2\ge1\)

Ta lai co:

\(\Sigma_{cyc}a^2\ge\Sigma_{cyc}ab=1\)

Dau '=' xay ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

Dự đoán Max P = 81 nên ta chứng minh: \(P\le81=\left(a+b+c\right)^4\)

Ta có: \(P=a^4+b^4+c^4-3abc\le a^4+b^4+c^4+78abc\)

\(=a^4+b^4+c^4+26\left(a+b+c\right)abc\)

Vậy ta chứng minh: \(a^4+b^4+c^4+26abc\left(a+b+c\right)\le\left(a+b+c\right)^4\)

SOS là ra rồi :DD

Chứng minh:\(a^4+b^4+c^4+26abc\left(a+b+c\right)\le\left(a+b+c\right)^4\)

Giả sử \(a=max\left\{a,b,c\right\}\).Xét hiệu: 

Đẳng thức xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(3;0;0\right)\) và các hoán vị.

\(P^2=a+b+c+a^2+b^2+c^2+2\sqrt{\left(a+b^2\right)\left(b+c^2\right)}+2\sqrt{\left(b+c^2\right)\left(c+a^2\right)}+2\sqrt{\left(a+b^2\right)\left(c+a^2\right)}.\)

Theo bđt Bunhiacopski ta có

\(2\sqrt{\left(a+b^2\right)\left(b+c^2\right)}\ge2\sqrt{b^3}\)(vì \(a,c\ge0\))

Tương tự \(2\sqrt{\left(b+c^2\right)\left(c+a^2\right)}\ge2\sqrt{c^3}\)

                \(2\sqrt{\left(c+a^2\right)\left(a+b^2\right)}\ge2\sqrt{a^3}\)

\(\Rightarrow P^2\ge a+b+c+a^2+b^2+c^2+2\sqrt{a^3}+2\sqrt{b^3}+2\sqrt{c^3}\)

Theo gt : \(\hept{\begin{cases}a,b,c\ge0\\a^2+b^2+c^2=1\end{cases}\Rightarrow0\le a,b,c\le1}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a\ge a^2,b\ge b^2,c\ge c^2\\a^3\ge a^4,b^3\ge b^4,c^3\ge c^4\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b+c\ge a^2+b^2+c^2=1\\2\sqrt{a^3}+2\sqrt{b^3}+2\sqrt{c^3}\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\end{cases}}\)

\(\Rightarrow P^2\ge1+1+2=4\)\(\Rightarrow P\ge2\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=0,c=1 và các hoán vị của nó

Tìm Max

Theo bđt Bunhiacopski ta có

\(P^2\le\left(1+1+1\right)\left(a+b+c+a^2+b^2+c^2\right)\)

    \(=3\left(a+b+c+a^2+b^2+c^2\right)\)\(\le3\left(\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}+a^2+b^2+c^2\right)\)

      \(=3\left(1+\sqrt{3}\right)\)

\(\Rightarrow P\le\sqrt{3\left(1+\sqrt{3}\right)}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)