TXĐ: \(D=\left[-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right]\backslash\left\{0\right\}\)

Trường hợp 1: \(x\in[-\frac{1}{2};0)\)

BPT tương đương: \(\hept{\begin{cases}-\frac{1}{2}\le x< 0\\1-\sqrt{1-4x^2}>3x\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-\frac{1}{2}\le x< 0\\\sqrt{1-4x^2}< 1-3x\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-\frac{1}{2}\le x< 0\\x< \frac{1}{3}\\1-4x^2< 1-6x+9x^2\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-\frac{1}{2}\le x< 0\\x< \frac{1}{3}\\x< 0\left(h\right)x>\frac{6}{13}\end{cases}}\Leftrightarrow-\frac{1}{2}\le x< 0\)

Trường hợp 2: \(x\in(0;\frac{1}{2}]\)

BPT tương đương: \(\hept{\begin{cases}0< x\le\frac{1}{2}\\1-\sqrt{1-4x^2}< 3x\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}0< x\le\frac{1}{2}\\1-3x\ge0\\13x^2-6x< 0\end{cases}}\left(h\right)\hept{\begin{cases}0< x\le\frac{1}{2}\\1-3x< 0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}0< x\le\frac{1}{2}\\x\le\frac{1}{3}\\0< x< \frac{6}{13}\end{cases}}\left(h\right)\hept{\begin{cases}0< x\le\frac{1}{2}\\x>\frac{1}{3}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow0< x\le\frac{1}{3}\left(h\right)\frac{1}{3}< x\le\frac{1}{2}\Leftrightarrow0< x\le\frac{1}{2}\)

Vậy \(S=\left[-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right]\backslash\left\{0\right\}\)

\(\sqrt{-x^2-2x+15}\le x^2+2x+a\)

Đặt \(\sqrt{-x^2-2x+15}=b\). Vì \(x\in[-5;3]\) nên \(b\in[0;4]\)

Bất phương trình trở thành \(b\le-b^2+15+a\Leftrightarrow f\left(b\right)=-b^2-b+a+15\ge0\left(1\right)\)

Ycbt trở thành: Tìm a để BPT (1) nghiệm đúng \(\forall b\in[0;4]\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}f\left(0\right)\ge0\\f\left(4\right)\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+15\ge0\\a-5\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow a\ge5\)

Thôi mn ạ mk lm ra r nha

câu 1

\(\hept{\begin{cases}2x^2+3xy-2y^2-5\left(2x-y\right)=0\left(1\right)\\x^2-2xy-3y^2+15=0\left(2\right)\end{cases}}\)

pt (1) \(\Leftrightarrow\left(2x-y\right)\left(x+2y\right)-5\left(2x-y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-y\right)\left(x+2y-5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=2x\\x=5-2y\end{cases}}\)

hpt \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=2x\\x^2-2x.2x-3\left(2x\right)^2+15=0\end{cases}\left(3\right)}\) hoặc \(\hept{\begin{cases}x=5-2y\\\left(5-2y\right)^2-2\left(5-2y\right)y-3y^2+15=0\end{cases}\left(4\right)}\)

hpt (3) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=2x\\-15x^2+15=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1;y=2\\x=-1;y=-2\end{cases}}}\)

hpt(4) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=5-2y\\5y^2-30y+40=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=2;x=1\\y=4;x=-3\end{cases}}}\)

Vậy hpt đã cho có nghiệm (1;2),(-1;-2),(-3;4)

\(\hept{\begin{cases}x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=5\\x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=9\end{cases}}\left(ĐK:x\ne0;y\ne0\right)\).

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x+\frac{1}{x}\right)+\left(y+\frac{1}{y}\right)=5\\\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+\left(y^2+\frac{1}{y^2}\right)=9\end{cases}}\).

Đặt \(x+\frac{1}{x}=a,y+\frac{1}{y}=b\)thì \(x^2+\frac{1}{x^2}=a^2-2;y^2+\frac{1}{y^2}=b^2-2\). Hệ phương trình trở thành:

\(\hept{\begin{cases}a+b=5\\a^2-2+b^2-2=9\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b=5\\a^2+b^2=13\end{cases}}\).

Đặt \(a+b=C,ab=D\)thì \(\left(a+b\right)^2=C^2\Leftrightarrow a^2+b^2+2D=C^2\Leftrightarrow a^2+b^2=C^2-2D\). Hệ phương trình trở thành:

\(\hept{\begin{cases}C=5\\C^2-2D=13\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}C=5\\25-2D=13\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}C=5\\D=6\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b=5\\ab=6\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=5-b\\ab=6\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=5-b\\\left(5-b\right)b=6\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=5-b\\-b^2+5b-6=0\end{cases}}\).

Xét phương trình \(\left(b-3\right)\left(b-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}b=3\\b=2\end{cases}}\).

Với \(b=3\)thì \(a=2\)

Với \(b=2\)thì \(a=3\)

- Với \(b=3\)và \(a=2\):

+ Với \(b=3\)thì \(y+\frac{1}{y}=3\Leftrightarrow\frac{y^2+1}{y}=\frac{3y}{y}\)

\(\Rightarrow y^2+1=3y\)

\(\Leftrightarrow y^2-3y+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(y-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{5}{4}\).

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}\\y-\frac{3}{2}=\frac{-\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\\y=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\)(thỏa mãn ĐKXĐ).

+ Với \(a=2\)thì \(x+\frac{1}{x}=2\Leftrightarrow\frac{x^2+1}{x}=\frac{2x}{x}\).

\(\Rightarrow x^2+1=2x\Leftrightarrow x^2-2x+1=0\).

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=0\Leftrightarrow x-1=0\Leftrightarrow x=1\)(thỏa mãn ĐKXĐ).

- Với \(b=2\)và \(a=3\):

+ Với \(b=2\)thì \(y+\frac{1}{y}=2\Leftrightarrow\frac{y^2+1}{y}=\frac{2y}{y}\).

\(\Rightarrow y^2+1=2y\)

\(\Leftrightarrow y^2-2y+1=0\Leftrightarrow\left(y-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow y-1=0\Leftrightarrow y=1\)(thỏa mãn ĐKXĐ).

+ Với \(a=3\)thì \(x+\frac{1}{x}=3\Leftrightarrow\frac{x^2+1}{x}=\frac{3x}{x}\).

\(\Rightarrow x^2+1=3x\).

\(\Leftrightarrow x^2-3x+1=0\)..

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\\x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\)(thỏa mãn ĐKXĐ).

Vậy hệ phương trình có tậpnghiệm \(\left(x;y\right)=\left\{1;\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}\right\};\left\{\frac{3\pm\sqrt{5}}{2};1\right\}\).

\(A=x\sqrt{y+1}+y\sqrt{x+1}\le\sqrt{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y+2\right)}\)

\(=\sqrt{x+y+2}\le\sqrt{\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}+2}=\sqrt{2+\sqrt{2}}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}\)