Tính: A = căn (3 - căn 5) + (3 + căn 5).
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a) Ta có: BK \(\perp\)AC ; AD \(\perp\)BC
=> ^ADB = ^BKA = 90 độ
=> Tứ giác AKDB nội tiếp
=> ^KAH = ^DBH
Mà ^KAH = ^CAE = ^CBE = ^DBE
=> ^DBH = ^DBE
=> BD là tia phân giác ^HBE hay BC là tia phân giác ^HBE
b) Xét \(\Delta\)HBE có: BD là đường cao đồng thời là đường phân giác
=> \(\Delta\)HBE cân
=> BD là đường trung tuyến => D là trung điểm HE và HE vuông BC tại D
=> E và H đối xứng với nhau qua BC
a ) Ta có : \(BK\perp AC,AD\perp BC\Rightarrow\widehat{AKB}=\widehat{ADB}=90^0\)
\(\Rightarrow AKDB\) nội tiếp
\(\Rightarrow\widehat{EBC}=\widehat{EAC}=\widehat{DAK}=\widehat{KBD}=\widehat{HBD}\)
\(\Rightarrow BC\) là tia phân giác \(\widehat{HBE}\)
b ) Vì BC là tia phân giác \(\widehat{HBE},BD\perp AE\)
\(\Rightarrow\Delta BHE\) cân tại B
=> DH = DE
Lại có \(HE\perp BC\Rightarrow E,H\) đối xứng qua BC
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
bđt tương đường với:
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{a+c}\right)\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2abc\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
Mật khác theo BĐT Cauchy-Schwart ta có:
\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}\)
Vậy để cm bài toán ta cần chứng minh được
\(a^2+b^2+c^2+\frac{9abc}{a+b+c}\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
Đây chính là BĐT Schur dang phân thức. Bài toán được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c và a=b=c=0 và hoán vị
Em xin lỗi cô và các bạn! Em giải lại ạ
Giải
Biến đổi tương đương BĐT như sau:
\(\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a}\le\frac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{c\left(a^2+b^2\right)}{a+b}+\frac{a\left(b^2+c^2\right)}{b+c}+\frac{b\left(c^2+a^2\right)}{a+c}\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{c\left[\left(a+b\right)^2-2ab\right]}{a+b}+\frac{a\left[\left(b+c\right)^2-2bc\right]}{b+c}+\frac{b\left[\left(c+a\right)^2-2ca\right]}{c+a}\le a^2+b^2+c^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ca\right)\le a^2+b^2+c^2+abc\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)
Theo BĐT dang \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\), ta được
\(a^2+b^2+c^2+2abc\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge a^2+b^2+c^2+\frac{9abc}{a+b+c}\)
Ta cần chỉ ra được \(a^2+b^2+c^2+\frac{9abc}{a+b+c}\ge2\left(ab+bc+ca\right)\), BĐT này tương đương với
\(a^3+b^3+c^3+3abc\ge a^2\left(b+c\right)+b^2\left(c+a\right)+c^2\left(a+b\right)\)
BĐT trên là hệ quả của BĐT Schur
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có : MP = MQ (tính chất tiếp tuyến)
=> \(\Delta\) MPQ là tam giác cân
=> ^MPQ = ^MQP
mà ^MQP = ^MIP (2 góc nội tiếp cùng chắng cung MP)
=> ^MPQ = ^MIP => ^MPE = ^MIP
Xét \(\Delta\) MPE và \(\Delta\) MIP ta có :
M: góc chung
^MPE = ^MIP (cmt)
=> \(\Delta\)MPE đồng dạng \(\Delta\) MIP (g.g)
=> \(\frac{MP}{MI}=\frac{ME}{MB}\)
=> đpcm
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Giải thích các bước giải:
a.Ta có AK⊥CK,AH⊥CHAK⊥CK,AH⊥CH
→ˆAKC+ˆAHC=90o+90o=180o→AKC^+AHC^=90o+90o=180o
→A,H,C,K→A,H,C,K thuộc đường tròn đường kính AC
b. Vì ADAD là đường kính của (O)
→AB⊥BD→AB⊥BD
Mà BH⊥AD→AB2=AH.ADBH⊥AD→AB2=AH.AD
c. Vì BC⊥AD→B,CBC⊥AD→B,C đối xứng qua AD
→ˆABC=ˆACB→ABC^=ACB^
Mà AMCBAMCB nội tiếp (O)→ˆKMC=ˆABC(O)→KMC^=ABC^
→ˆNMK=ˆAMB=ˆACB=ˆABC=ˆKMC→NMK^=AMB^=ACB^=ABC^=KMC^
Xét 2 tam giác vuông ΔMKNΔMKN và ΔMKCΔMKC có:
KMKM chung
ˆNMK=ˆKMCNMK^=KMC^ (cmt)
⇒ΔMKN=ΔMKC⇒ΔMKN=ΔMKC (cạnh góc vuông-góc nhọn)
⇒KN=KC⇒AK⇒KN=KC⇒AK vừa là đường cao vừa là trung tuyến ΔANCΔANC
⇒ΔANC⇒ΔANC cân đỉnh AA.
d. Vì ΔACNΔACN cân tại A →AN=AC→AN=AC
Mà B,C đối xứng qua AD
→AC=AB→AN=AB→ΔABN→AC=AB→AN=AB→ΔABN cân đỉnh AA
Lấy E là trung điểm BN→AE⊥BN→AE⊥BN
→E→E là trung điểm BN
→SABN=12AE.BN=12AE.2BE=AE.BE≤AE2+BE22=AB22→SABN=12AE.BN=12AE.2BE=AE.BE≤AE2+BE22=AB22
Dấu = xảy ra khi AE=BE→ˆABE=45o→ˆABM=45oAE=BE→ABE^=45o→ABM^=45o
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\hept{\begin{cases}x+3y-5=xy\\\frac{1}{x-1}+\frac{1}{y-2}=2\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}3y-2=xy\\\frac{1}{x-1}+\frac{1}{y-2}=2\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}\frac{3y-2}{y}=x\\\frac{1}{x-1}+\frac{1}{y-2}=2\end{cases}}\)
Ta thay \(\frac{3y-2}{y}\)vào biểu thức \(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{y-2}\)ta đc
\(\frac{1}{\frac{3y-2}{y}-1}+\frac{1}{y-2}=2\)
\(y-3+\frac{3y-2}{y}=4y-\frac{4\left(3y-2\right)}{y}\)
\(y^2-2=4y^2-12y+8\)
\(y^2-2-4y^2+12y-8=0\)
\(-3y^2-10+12y=0\)
\(y=\orbr{\begin{cases}\frac{6-\sqrt{6}}{3}\\\frac{6+\sqrt{6}}{3}\end{cases}}\)
Tự thay y vào mà tính x , mà nếu như AD giải hpt ở lp 8 thì ta cho lak vô nghiệm đều đc ( vì số vô tỉ => vô nghiệm nha )
Bánh xe có chu vi 3,454m 3,454m thì bán kính của nó là m .
\(A=\sqrt{3-\sqrt{5}}+\sqrt{3+\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow\sqrt{2}A=\sqrt{2\left(3-\sqrt{5}\right)}+\sqrt{2\left(3+\sqrt{5}\right)}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2}A=\sqrt{6-2\sqrt{5}}+\sqrt{6+2\sqrt{5}}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2}A=\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{5}+1\right)^2}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2}A=\left|\sqrt{5}-1\right|+\left|\sqrt{5}+1\right|\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2}A=\sqrt{5}-1+\sqrt{5}+1\) ( do \(\sqrt{5}-1>0\) )
\(\Leftrightarrow\sqrt{2}A=2\sqrt{5}\)
\(\Leftrightarrow A=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\sqrt{10}\)