Ta có: \(\left(x+y+z\right)^3=x^3+y^3+z^3+3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)

nên suy ra: \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=6=6.1.1=3.2.1\)

Do vai trò \(x,y,z\)bình đẳng nên ta xét mỗi tích một trường hợp. 

TH1: \(\hept{\begin{cases}x+y=6\\y+z=1\\z+x=1\end{cases}}\)(loại) TH2: \(\hept{\begin{cases}x+y=3\\y+z=2\\z+x=1\end{cases}}\)(loại)

Vậy phương trình không có nghiệm nguyên dương. 

Với định nghĩa nghiệm nguyên dương là bộ \(\left(x,y,z\right)\)với \(x,y,z\inℕ^∗\)

3 và 5 đều là SNT , nên nếu x . y = 5 thì x hoặc y bằng 5 .

Mà x + y = 3 , vậy nếu với ĐK \(x,y\in N|x,y\notin N\)thì suy ra :

=> Không tồn tại dữ liệu đề bài

 ^{\(x^2+2xy+y^2\) - 2xy}

^{\(\left(x+y\right)^2\)}  - 2xy

3^{2   _{-  10}}

\(\frac{y^3}{y+1}+\frac{y^2}{y-1}+\frac{1}{y+1}-\frac{1}{y-1}\)

\(=\frac{y^3+1}{y+1}+\frac{y^2-1}{y-1}\)

\(=\frac{\left(y+1\right)\left(y^2-y+1\right)}{y+1}+\frac{\left(y+1\right)\left(y-1\right)}{y-1}\)

\(=y^2-y+1+y+1=y^2+2\)

\(=\frac{3y^2}{x\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)}+\frac{y}{x\left(x^2+xy+y^2\right)}-\frac{1}{x\left(x-y\right)}\)

\(=\frac{3y^2+y\left(x-y\right)-\left(x^2+xy+y^2\right)}{x\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)}\)

\(=\frac{-\left(x^2-y^2\right)}{x\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)}=\frac{-\left(x+y\right)}{x\left(x^2+xy+y^2\right)}\)

                          - D là trung điểm của cạnh AB        

a , \(\Delta ABC\)có :                                                                   => DE là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

                         - E là trung điểm của cạnh AC                       => \(DE//BC\)

                                                                                                => BDEC là hình thang .

b , Ta có : Ax // Bc hay AI // FC => \(\widehat{IAC}=\widehat{ACF}\)( 2 góc sole trong )

Xét \(\Delta AIE\)và \(\Delta EFC\:\)có :

\(\widehat{IAC}=\widehat{ACF}\)( Cmt )

\(\widehat{AEI}=\widehat{FEC}\)( đối đỉnh )

AE = EC ( E là trung điểm AC )

=> \(\Delta AIE\)= \(\Delta EFC\:\) ( g . c . g )

=> AI = FC ( 2 cạnh tương ứng ) 

Vì : AI // FC ; AI = FC => Tứ giác AICF là hình bình hành

                                   => AF // IC

c , Ta có : AI = FC ( CMt )

                BF = FC ( F là trung điểm BC )

           => AI = BF

         mà Ax // BC hay Ax // BF

           => Tứ giác AIFB là hình bình hành

           => AF cắt IB tại trung điểm của mỗi đường ( 1 )

Vì Tứ giác AICF là hình bình hành 

=> IF cắt AC tại trung điểm của mỗi đường

mà E là giao của Ì và AC

=> E là trung điểm IF

Hình bình hành AIFB  có : D là trung điểm AB

                                           E là trung điểm IF

                                    => DE là đường trung bình của hình bình hành AIFB ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) =>  3 đường thẳng AF , DE, IB đồng quy tại 1 điểm