Kẻ \(AK\perp BC\)

Xét \(\Delta ABC\)có :

\(AM=MB\left(gt\right)\)

\(AN=NC\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\)MN là đường  trung bình của \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow MN//BC;MN=\frac{1}{2}BC\left(1\right)\)

Xét \(\Delta BHC\)có :

\(HP=PC\left(gt\right)\)

\(HQ=QB\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\)PQ là đường trung bình của \(\Delta BHC\)

\(\Rightarrow PQ//BC;PQ=\frac{1}{2}BC\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow MN//PQ;MN=PQ\)

\(\Rightarrow\)Tứ giác MNPQ là hình bình hành \(\left(3\right)\)

Xét \(\Delta BAH\)có :

\(BM=MA\left(gt\right)\)

\(BQ=QH\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\)MQ là đường trung bình của \(\Delta BAH\)

\(\Rightarrow MQ//AH\)

\(\Rightarrow MQ//AK\)

mà \(AK\perp BC\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow MQ\perp BC\)

mà \(MN//BC\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow MQ\perp MN\)

\(\Rightarrow\widehat{QMN}=90^o\left(4\right)\)

Từ (3) và (4) \(\Rightarrow\)Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật

\(\Rightarrow MP=NQ\)

\(\left(x-1\right)^3+3\left(x+1\right)^2=\left(x^2-2x+4\right)\left(x+2\right)\)

\(\Leftrightarrow x^3-3x^2+3x-1+3\left(x^2+2x+1\right)=x^3-8\)

\(\Leftrightarrow x^3-3x^2+3x-1+3x^2+6x+3=x^3-8\)

\(\Leftrightarrow x^3+9x+2=x^3-8\Leftrightarrow9x+10=0\Leftrightarrow x=-\frac{10}{9}\)

 (x-1)^3+3(x+1)^2=(x^2-2x+4).(x+2)

<=>x^3-3x^2+3x-1+3x^2+6x+3=x^3-8

<=>9x= -10

<=>x= -10/9

Học Tốt !

Ta có 6n² + n - 1 = 6n² + 2n - n - 1  = 2n(3n + 1) -n - 1

Vì \(2n\left(3n+1\right)⋮3n+1\)

=> -n - 1 \(⋮\)3n + 1

=> -3(-n - 1)  \(⋮\)3n + 1

=> 3n + 3  \(⋮\)3n + 1

=> 3n + 1 + 2  \(⋮\)3n + 1

Vì 3n + 1  \(⋮\)3n + 1

=> 2  \(⋮\)3n + 1

=> 3n + 1 \(\inƯ\left(2\right)\)

=> \(3n+1\in\left\{1;2;-1;-2\right\}\)

=> \(3n\in\left\{0;1;-2;-3\right\}\)

=> \(n\in\left\{0;\frac{1}{3};-\frac{2}{3};-1\right\}\)

Vì n nguyên =>  \(n\in\left\{0;-1\right\}\) 

Vậy \(n\in\left\{0;-1\right\}\)là giá trị cần tìm

Ta có: \(a+b=c+d\Leftrightarrow a-d=c-b\)

Nếu: \(a-d=c-b=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=d\\c=b\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^{2002}=d^{2002}\\c^{2002}=b^{2002}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow a^{2002}+b^{2002}=c^{2002}+d^{2002}\)

Nếu \(a-d=c-b\ne0\)

Ta có: \(a^2+b^2=c^2+d^2\)

\(\Leftrightarrow a^2-d^2=c^2-b^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a-d\right)\left(a+d\right)=\left(c-b\right)\left(c+b\right)\)

\(\Leftrightarrow a+d=b+c\)

\(\Leftrightarrow a-b=c-d\) mà \(a+b=c+d\) nên cộng 2 vế lại:

\(\Rightarrow2a=2c\Leftrightarrow a=c\Leftrightarrow b=d\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^{2002}=c^{2002}\\b^{2002}=d^{2002}\end{cases}}\Rightarrow a^{2002}+b^{2002}=c^{2002}+d^{2002}\)

=> đpcm

Điều kiện xác định: \(xy>0\)

Ta có:

\(C=\left(\frac{2}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\div\frac{\left(x+y\right)\sqrt{xy}-xy}{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}\)

\(C=\frac{2\sqrt{xy}+y+x}{xy}\div\frac{\left(x-\sqrt{xy}+y\right)\sqrt{xy}}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(x-\sqrt{xy}+y\right)}\)

\(C=\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2}{xy}\cdot\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{xy}}\)

\(C=\left(\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{xy}}\right)^3\)

\(\frac{\left(x^2+a\right)\left(1+a\right)+a^2x^2+1}{\left(x^2-a\right)\left(1-a\right)+a^2x^2+1}=\frac{x^2+ax^2+a+a^2+a^2x^2+1}{x^2-ax^2-a+a^2+a^2x^2+1}\)

\(=\frac{\left(a^2+a+1\right)+\left(a^2x^2+ax^2+x^2\right)}{\left(a^2-a+1\right)+\left(a^2x^2-ax^2+x^2\right)}=\frac{\left(a^2+a+1\right)+x^2\left(a^2+a+1\right)}{\left(a^2-a+1\right)+x^2\left(a^2-a+1\right)}\)

\(=\frac{\left(a^2+a+1\right)\left(1+x^2\right)}{\left(a^2-a+1\right)\left(1+x^2\right)}=\frac{a^2+a+1}{a^2-a+1}\)

Vậy phân thức sau đây không phụ thuộc vào x, y

với x=-12 và y=99

\(C=\frac{x^3-x}{\left(1+xy\right)^2-\left(x+y\right)^2}\)

ĐKXĐ tự tìm

\(=\frac{x\left(x^2-1\right)}{\left(1+xy-x-y\right)\left(1+xy+x+y\right)}\)

\(=\frac{x\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{\left[x\left(y-1\right)-\left(y-1\right)\right]\left[x\left(y+1\right)+\left(y+1\right)\right]}\)

\(=\frac{x\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)\left(x+1\right)\left(y+1\right)}\)

\(=\frac{x}{\left(y-1\right)\left(y+1\right)}\)

Với x = -12 ; y = 99 => \(C=\frac{-12}{\left(99-1\right)\left(99+1\right)}=\frac{-12}{9800}=\frac{-3}{2450}\)

Đặt \(A=\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(a-d\right)\left(b-c\right)\left(b-d\right)\left(c-d\right)\)

4 số nguyên a,b,c,d không chia cho 3 có 2  số có cùng dư. khi đó hiệu của chúng chia hết cho 3, hiệu là 1 trong các thừa số của A nếu A chia hết cho 3 (1)

Nếu a,b,c,d có 2 số có cùng dư. khi chia cho 4 thì A chia hết cho 4 còn nếu a,b,c,d có dư khác nhau khi chia chi 4 sẽ có 2 số chẵn và 2 số lẻ, lúc đó có 2 hiệu chia hết cho 2, do đó A chia hết cho 4 (2)

Từ 1,2=> A chia hết cho 12

a³ + b³ + c³ = 3abc

<=> a³ + b³ + c³ - 3abc = 0

<=> ( a³ + b³ ) + c³ - 3abc = 0

<=> ( a + b )³ - 3ab( a + b ) + c³ - 3abc = 0

<=> [ ( a + b )³ + c³ ] - [ 3ab( a + b ) + 3abc ] = 0

<=> ( a + b + c )[ ( a + b )² - ( a + b )c + c² ] - 3ab( a + b + c ) = 0

<=> ( a + b + c )( a² + 2ab + b² - ac - bc + c² - 3ab ) = 0

<=> ( a + b + c )( a² + b² + c² - ab - bc - ac ) = 0

Vì a,b,c > 0 => a + b + c > 0

=> a² + b² + c² - ab - bc - ac = 0

<=> 2( a² + b² + c² - ab - bc - ac ) = 2.0

<=> 2a² + 2b² + 2c² - 2ab - 2bc - 2ac = 0

<=> ( a² - 2ab + b² ) + ( b² - 2bc + c² ) + ( a² - 2ac + c² ) = 0

<=> ( a - b )² + ( b - c )² + ( a - c )² = 0

<=> \(\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\a-c=0\end{cases}}\Rightarrow a=b=c\)

<=> \(B=\frac{a^2+2a^2+3a^2}{6a\cdot a}=\frac{6a^2}{6a^2}=1\)