Với DK:a\(\ge\)b,b\(\ge\)0,a\(\ne\)b

\(\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\frac{a-b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)

\(=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)-\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)=0\)

\(\hept{\begin{cases}3\left(x-1\right)+2\left(x-2y\right)=10\\4\left(x-2\right)-\left(x-2y\right)=2\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3x-3+2x-4y-10=0\\4x-8-x+2y-2=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}5x-4y-13=0\left(1\right)\\3x+2y-10=0\left(2\right)\end{cases}}\)

Nhân 2 vào từng vế của ( 2 ) 

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}5x-4y-13=0\\6x+4y-20=0\end{cases}}\)

Lấy ( 1 ) cộng ( 2 ) theo vế

\(\Rightarrow11x-33=0\Leftrightarrow11x=33\Leftrightarrow x=3\)

Thế x = 3 vào ( 1 ) 

=> \(5\cdot3-4y-13=0\Rightarrow4y=2\Leftrightarrow y=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)

Vậy ( x ; y ) = ( 3 ; 1/2 ) 

\(\hept{\begin{cases}3\left(x-1\right)+2\left(x-2y\right)=10\\4\left(x-2\right)-\left(x-2y\right)=2\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3x-3+2x-4y=10\\4x-8-x+2y=2\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}5x-13-4y=0\\3x-10+2y=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}5x-13-4y=0\\6x-20+4y=0\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}11x-23=0\\3x-10+2y=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{23}{11}\left(1\right)\\3x-10+2y=0\left(2\right)\end{cases}}}\)

Thay x vào pt 2 ta đc 

\(3.\frac{23}{11}-10+2y=0\Leftrightarrow\frac{69}{11}-10+2y=0\)

\(\Leftrightarrow y=\frac{41}{22}\)

Vậy \(\left\{x;y\right\}=\left\{\frac{23}{11};\frac{41}{22}\right\}\)

Câu cuối đề vào 10 Hà Nội phải không :))

\(ĐKXĐ:x\ge\frac{2}{3}\)

\(\sqrt{x}+\sqrt{3x-2}=x^2-1\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)+\left(\sqrt{3x-2}-1\right)=x^2-1\)

\(\Leftrightarrow\frac{x-1}{\sqrt{x+1}}+\frac{3x-3}{\sqrt{3x-2}+1}-\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\frac{3}{\sqrt{3x-2}+1}-x-1\right)=0\)

Hê hê trong ngoặc còn x=1 nữa mà ngại phá vl :))

uwu mới tìm ra cách mới khá Oke các bạn xem thử nhé :)

\(\sqrt{x}+\sqrt{3x-2}=x^2+1\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{x}+2\sqrt{3x-2}=2x^2+2\)

\(\Leftrightarrow2x^2-4x+2+\left(\sqrt{x}-1\right)^2+\left(\sqrt{3x-2}-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow2\left(x-1\right)^2+\left(\sqrt{x}-1\right)^2+\left(\sqrt{3x-2}-1\right)^2=0\)

=> x=1

Vì A khác rỗng 

=> Tồn tại số a \(\in\)A => 1 - a \(\in\)A  và 1/a \(\in\)A

=> \(\frac{1}{1-a}\in A;1-\frac{1}{a}=\frac{a-1}{a}\in A\)

=> \(1-\frac{1}{1-a}\in A;\frac{a}{a-1}=1-\frac{1}{1-a}\in A\)

Mà A chỉ có chứa tối đa 5 phần tử 

=> \(a=1-\frac{1}{1-a}\Leftrightarrow a=\frac{a}{a-1}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=2\\a=0\left(loai\right)\end{cases}}\Leftrightarrow a=2\)

Vậy tập A = { 2; -1; 1/2}

\(\sqrt{2016-x}+\sqrt{x-2014}=x^2-4030x+4060227\) (*)

Điều kiện : \(2014\le x\le2016\)

Áp dụng tính chất : \(\left(a+b\right)^2\)\(\le\)\(\left(a^2+b^2\right)\)với \(\forall a,b\)

Ta có:

\(\sqrt{x-2016}+\sqrt{x-2014}^2\) \(\le\)\(2\left(2016-x+x-2014\right)\)\(=4\)

\(\Rightarrow\sqrt{\left(2016-x\right)+}\sqrt{\left(x-2014\right)\le2}\)\(\left(1\right)\)

Mặt khác: \(x^2-4030x+4060227=\left(x-2015\right)^2+2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) ta có:

\(\Rightarrow\)(*) \(\Leftrightarrow\sqrt{2016-x}+\sqrt{x-2014}=\left(x-2015\right)^2+2=2\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2015\right)^2=0\)

\(\Rightarrow x=2015\) ( Thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có 1 nghiệm duy nhất là x=2015

Mẫu không âm+ quy đồng

\(\frac{1+a+b}{2}\ge\frac{1+a+b+ab}{2+a+b}\)(1)

<=> \(2+3\left(a+b\right)+\left(a+b\right)^2\ge2+2a+2b+2ab\)

<=> \(a^2+b^2+a+b\ge0\) luôn đúng vì a; b không âm 

Do đó  (1) đúng 

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = 0

Ta có:A =  5x² + y² + z² - 4x - 2xy - z - 1

A = (x² - 2xy + y²) + (4x² - 4x + 1) + (z² - z + 1/4) - 9/4

A = (x - y)² + (2x - 1)² + (z - 1/2)² - 9/4 \(\ge\)- 9/4 \(\forall\)x;y

Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x-y=0\\2x-1=0\\z-\frac{1}{2}=0\end{cases}}\) <=> \(\hept{\begin{cases}x=y\\x=\frac{1}{2}\\z=\frac{1}{2}\end{cases}}\) <=> x =  y = z = 1/2

Vậy MinA = -9/4 khi x = y = z = 1/2

=)) mình cũng làm ntn mà rút gọn ngu -9/4=-3/2 kq sai :v

Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành: \(\frac{1}{\sqrt{xy}-4}+\frac{1}{\sqrt{yz}-4}+\frac{1}{\sqrt{zx}-4}\ge-1\)(*)

Theo BĐT Cauchy, ta có: \(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\le\frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{z+x}{2}=x+y+z\)

Mà ta có: \(\left(x+y+z\right)^2\le3\left(x^2+y^2+z^2\right)=9\Rightarrow x+y+z\le3\)nên \(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\le3\)

Theo BĐT Bunyakovsky dạng phân thức: \(\frac{1}{\sqrt{xy}-4}+\frac{1}{\sqrt{yz}-4}+\frac{1}{\sqrt{zx}-4}\)\(\ge\frac{9}{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}-12}\ge\frac{9}{3-12}=-1\)

Suy ra (*) đúng

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1

Ine CTV

dễ thấy \(x,y,z< \sqrt{3}\)\(\Rightarrow\)\(\sqrt{xy}-4< 0\); ... 

cauchy-schwarz chỉ dùng cho mẫu dương nha em, bài này lúc trước anh cũng lam sai, noi trước để đừng lục lại :D