Áp dụng bđt Cosi ta có: \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge2;\frac{b^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge2;\frac{c^2}{c+d}+\frac{c+d}{4}\ge2\)\(;\frac{d^2}{d+a}+\frac{d+a}{4}\ge2\)

Cộng theo vế và a+b+c+d=1 ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}\frac{a^2}{a+b}=\frac{a+b}{4};\frac{b^2}{b+c}=\frac{b+c}{4};\frac{c^2}{c+d}=\frac{c+d}{4};\frac{d^2}{d+a}=\frac{d+a}{4}\\\\a=b=c=1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow a=b=c=d=\frac{1}{4}\)

Bunyakovsky dạng phân thức

Dễ lắm bạn! Biến đổi tương đương là ok á!

\(3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)

\(VT\ge3\left[\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\right]=\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{3}=VP\left(đpcm\right)\)(bất đẳng thức svacxo)

x=6

x=−3

Ta có : \(a+\frac{1}{a}=b+\frac{1}{b}=c+\frac{1}{c}=x\)

=> \(\frac{a^2+1}{a}=\frac{b^2+1}{b}+\frac{c^2+1}{c}=x\)

=> \(\hept{\begin{cases}a^2+1=ax\\b^2+1=bx\\c^2+1=cx\end{cases}}\left(4\right)\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2-ax=-1\\b^2-bx=-1\\c^2-cx=-1\end{cases}}\)

=> a² - ax = b² - bx = c² - cx

=> a² - ax = b² - bx

=> a² - ax - b² + bx = 0

=> a² - b² + x(b - a) = 0

=> (a - b)(b + a) + b - a = 0

=> -(b - a)(b + a) + x(b - a) = 0

=> -(b - a)(b + a - x) = 0

=> b + a - x = 0

=> b + a = x (1)

Tương tự ta có : 

b + c - x  = 0 

=> b + c = x (2)

và a + c - x =0

=> a + c = x (3)

Thay (1) (2) (3) vào (4) ta có : 

\(\hept{\begin{cases}a^2+1=a\left(a+c\right)\\b^2+1=b\left(a+b\right)\\c^2+1=c\left(b+c\right)\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}ac=1\\ab=1\\bc=1\end{cases}}}\)=> ac - ab = 1 - 1

=> a(c - b) = 0

=> a = 0 (vì c khác b)

=> P = x.abc = 0

ôi Chết ghi lộn đề bài cho tui xin lỗi \(a+\frac{1}{b}=b+\frac{1}{c}=c+\frac{1}{a}=x\)

vì tam giác ABC vuông tại A trung tuyến AD nên AD=DB=DC=1/2 BC=1/2 *32=16

Ta có: \(\frac{AH}{AD}=\frac{3}{4}\Leftrightarrow\frac{AH}{16}=\frac{3}{4}\)

\(\Rightarrow AH=\frac{3\cdot16}{4}=12\)

Lại có: \(AH^2=BH\cdot CH=\left(BD-HD\right)\left(DC+HD\right)\)\(=\left(16-HD\right)\left(16+HD\right)=16^2-HD^2\)

\(\Leftrightarrow12^2=16^2-HD^2\Rightarrow HD=\sqrt{16^2-12^2}=\sqrt{112}=4\sqrt{7}\)

Diện tích AHD=\(\frac{1}{2}\cdot AH\cdot HD=\frac{1}{2}\cdot12\cdot4\sqrt{7}=24\sqrt{7}\)

chỗ số 44, mấy bạn sửa lại dùm mình thành 4 nha

Tham khảo bài làm của một số bạn ở đây nhé :

Bài 42 Sgk tâp 1 - trang 96 - Toán lớp 9 | Học trực tuyến

Bây giờ đăng toàn mất link thôi , vào thống kê hỏi đáp của mình nhé : )