We have: \(\frac{2x}{x^2+1}=\frac{-x^2+2x-1+x^2+1}{x^2+1}\)

\(=\frac{-x^2+2x-1}{x^2+1}+1=\frac{-\left(x-1\right)^2}{x^2+1}+1\le1\)

"='' \(\Leftrightarrow x-1=0\Rightarrow x=1\)

The maximum value of \(\frac{2x}{x^2+1}=1\) when \(x=1\)

ngu tiếng Anh :))

Đặt \(A=\frac{2x}{x^2+1}\)

Với x ≤ 0 => A ≤ 0(1)

Với x > 0, áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :

\(x^2+1\ge2\sqrt{x^2\cdot1}=2x\)

=> \(\frac{1}{x^2+1}\le\frac{1}{2x}\)=> \(\frac{2x}{x^2+1}\le1\)hay A ≤ 1(2)

Từ (1) và (2) => A ≤ 1 hay MaxA = 1

Đẳng thức xảy ra <=> x = 1

Vậy ... :))

P = \(\frac{2x}{x^2+1}=\frac{x^2+1-x^2+2x-1}{x^2+1}=\frac{x^2+1-\left(x-1\right)^2}{x^2+1}=1-\frac{\left(x-1\right)^2}{x^2+1}\le1\)

Dầu "=" xảy ra <=> x - 1 = 0 <=> x = 1

maxP = 1 <=> x = 1

Gọi độ dài quãng đường AB là x ( km, x>0 )

Thời gian xe máy đi từ A đến B = x/30 (giờ)

Vận tốc xe máy đi từ B về A = 30+10=40km/h

Thời gian xe máy đi từ B về A là x/40 (giờ)

Theo bài ra ta có phương trình :

x/30 - x/40 = 3/4

<=> x( 1/30 - 1/40 ) = 3/4

<=> x.1/120 = 3/4

<=> x = 90 (tm)

Vậy quãng đường AB dài 90km

Ta có  :

\(4\left(n^2+7n+22\right)=\left(2n+7\right)^2+39\)

Nếu \(\left(2n+7\right)⋮3\Rightarrow\left(2n+7\right)^2⋮9\Rightarrow\left(2n+7\right)^2\)\(⋮̸̸\)\(9\)

Nếu \(\left(2n+7\right)\)không chia hết cho 3 \(\Rightarrow\left(2n+7\right)^2\)không chia hết cho 9 \(\Rightarrow\left(2n+7\right)^2+39\)không chia hết cho 9

\(\Rightarrow n^2+7n+22\)không chia hết cho 9 với mọi \(n\in Z\)

Ta có: \(n^2+7n+22\)

\(=n^2+2n+5n+10+12\)

\(=n\left(n+2\right)+5\left(n+2\right)+12\)

\(=\left(n+2\right)\left(n+5\right)+12\)

Vì hiệu của \(n+5\)và \(n+2\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}\left(n+5\right)\left(n+2\right)⋮3\\\left(n+5\right)\left(n+2\right)⋮̸3\end{cases}}\)

TH1:\(\left(n+5\right)\left(n+2\right)⋮3\Rightarrow\left(n+5\right)\left(n+2\right)⋮9\)mà \(12⋮̸9\)

\(\Rightarrow\left(n+5\right)\left(n+2\right)+12⋮̸9\left(1\right)\)

TH2:\(\left(n+5\right)\left(n+2\right)⋮̸3\Rightarrow\left(n+5\right)\left(n+2\right)⋮̸9̸\)mà\(12⋮9\)

\(\Rightarrow\left(n+5\right)\left(n+2\right)+12⋮̸9\left(2\right)̸\)

Từ (1) và (2)=>đpcm

Đặt \(A=x^8+x^6+x^4+x^2+1\)

\(A=x^4\left(x^4+x^2+1+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^4}\right)\)

\(A=x^4\left[\left(x^4+\frac{1}{x^4}\right)+\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\right]\)

Đặt \(x^2+\frac{1}{x^2}=a\)thì \(\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)=a^2\Rightarrow x^4+2+\frac{1}{x^4}=a^2\Rightarrow x^4+\frac{1}{x^4}=a^2-2\), lúc đó:

\(A=x^4\left[\left(a^2-2\right)+a\right]\)

\(A=x^4\left(a^2-2+a\right)\)

\(A=x^4\left(a^2+2a-a-2\right)\)

\(A=x^4\left[\left(a^2+2a\right)-\left(a+2\right)\right]\)

\(A=x^4\left[a\left(a+2\right)-\left(a+2\right)\right]\)

\(A=x^4\left(a-1\right)\left(a+2\right)\)

\(A=x^4\left(x^2+\frac{1}{x^2}-1\right)\left(x^2+\frac{1}{x^2}+2\right)\)

\(A=\left[x^2\left(x^2+\frac{1}{x^2}-1\right)\right]\left[x^2\left(x^2+\frac{1}{x^2}+2\right)\right]\)

\(A=\left(x^4+1-x^2\right)\left(x^4+1+x^2\right)\)

\(A=\left(x^4-x^2+1\right)\left(x^4+x^2+1\right)\)

=1 nha bn

Trên tia đối của tia AC kẻ tia Ax.

Do đó AD là phân giác ngoài của \(\widehat{BAx}\).

Trên tia đối của tia AD lấy tia Ay. Lấy điểm F thuộc ia Ay sao cho \(\widehat{DCF}=\widehat{DAB}\)hay \(\widehat{DCF}=\widehat{A_2}\)

Xét \(\Delta BAD\)và \(\Delta FCD\)có:

\(\widehat{A_2}=\widehat{DCF}\)(hình vẽ trên).

\(\widehat{CDF}\)chung.

\(\Rightarrow\Delta BAD~\Delta FCD\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{B_1}=\widehat{F_1}\)(2 góc tương ứng).

Và \(\frac{BD}{FD}=\frac{AD}{CD}\)(tỉ số đồng dạng).

\(\Rightarrow BD.CD=FD.AD\left(1\right)\)

Ta lại có: \(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\)(vì AD là phân giác của \(\widehat{BAx}\)).

Mà \(\widehat{A_1}=\widehat{A_3}\)(vì đối đỉnh).

\(\Rightarrow\widehat{A_2}=\widehat{A_3}\left(=\widehat{A_1}\right)\)

Xét \(\Delta BAD\)và \(\Delta FAC\)có:

\(\widehat{B_1}=\widehat{F_1}\)(chứng minh trên).

\(\widehat{A_2}=\widehat{A_3}\)(chứng minh trên).

\(\Rightarrow\Delta BAD~\Delta FAC\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AD}{AC}=\frac{AB}{AF}\)(tỉ số đồng dạng).

\(\Rightarrow AD.AF=AB.AC\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\)và \(\left(2\right)\).

\(\Rightarrow FD.AD-AD.AF=BD.CD-AB.AC\)

\(\Rightarrow BD.CD-AB.AC=AD\left(FD-AF\right)\)

\(\Rightarrow BD.CD-AB.AC=AD.AD\)

\(\Rightarrow BD.CD-AB.AC=AD^2\)(điều phải chứng minh).