b) Định lí PYTAGO cho tam giác AHM vuông tại H: \(AM^2=AH^2+HM^2\Rightarrow AH^2=AM^2-HM^2\)

M trung điểm HC \(\Rightarrow HM=MC\Rightarrow AH^2=AM^2-MC^2\)(1)

Định lí PYTAGO cho 2 tam giác AMI và CMI đều vuông tại I: \(\hept{\begin{cases}AM^2=AI^2+MI^2\\MC^2=MI^2+IC^2\end{cases}}\)

Thế vào (1) \(\Rightarrow AH^2=\left(AI^2+MI^2\right)-\left(MI^2+IC^2\right)=AI^2-IC^2\)

ABCEHD

+) Kẻ AE là phân giác ngoài của góc BAC

Mà AD là phân giác của góc BAC nên AD vuông góc với AE => tam giác EAD vuông tại A

+) Áp dụng ĐL Pi - ta go trong tam giác vuông AHD có: DH = √AD2−AH2=√452−362=27 cm

+) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông EAD có: AD2 = DH. DE => DE = AD2 / DH = 452/ 27 = 75 cm

+)Áp dụng tính chất tia phân giác trong và ngoài tam giác có: BDDC =ABAC =EBEC

Đặt BD = x (0 < x < 40) => CD = 40 - x. Ta có:

x40−x =75−x75+(40−x) (do EB = DE - BD; EC = DE + DC)

=> x. (115 - x) = (40 - x).(75 - x)

<=> 115x - x2 = 3000 - 115x + x2 <=> x2 - 115x + 1500 = 0

=> x = 100 (Loại) hoặc x = 15 (thoả mãn)

Vậy BD = 15 cm hoặc BD = 40 - 15 = 25 cm (Nếu ta đổi vị trí B và C cho nhau)

Mình chỉ thấy duy nhất cái đẳng thức.

Mình giúp phần a thôi, phần b chir là áp dụng không có gì khó cả.

\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)\)

\(=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{a+b+c}{abc}\right)=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\left(a+b+c=0\right)\)

\(\Rightarrow\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\sqrt{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}=\left|\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right|\left(đpcm\right)\)

b, \(A=\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+...+\sqrt{1+\frac{1}{399^2}+\frac{1}{400^2}}\)

\(A=\sqrt{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{\left(-2\right)^2}}+\sqrt{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{\left(-3\right)^2}}+...+\sqrt{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{399^2}+\frac{1}{\left(-400\right)^2}}\)

có 1 + 1 - 2 = 1 + 2 - 3 = ... + 1 + 399 - 400 = 0

nên theo câu a ta có : 

\(A=\left|1+\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right|+\left|1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right|+...+\left|1+\frac{1}{399}-\frac{1}{400}\right|\)

A = 1 + 1 -1/2 + 1 + 1/2 - 1/3 + 1 + 1/3 - 1/4 + ... + 1 + 1/399 - 1/400

= 400  1/400

= 159999/400

Đặt \(\sqrt[3]{a}=b \Rightarrow \sqrt[3]{a^2}=b^2\)

\(D=\frac{1-b}{1+b+b^2}-\frac{1+b}{1-b+b^2}=\frac{\left(1-b\right)^2}{\left(1-b\right)^3}-\frac{\left(1+b\right)^2}{\left(1+b\right)^3}\)

     \(=\frac{1}{1-b}-\frac{1}{1+b}=\frac{2b}{1-b^2}=\frac{2.\sqrt[3]{a}}{1-\sqrt[3]{a^2}}\)

Đặt \(a=\sqrt[4]{5}\Leftrightarrow5=a^4\)

Ta cần chứng minh: \(\left(\frac{a+1}{a-1}\right)^4=\frac{3+2a}{3-2a}\)

Khai triển: \(VT=\left(\frac{a+1}{a-1}\right)^4=\frac{\left(a+1\right)^4}{\left(a-1\right)^4}\)

                                         \(=\frac{2\left(3+2a\right).\left(1+a^2\right)}{2\left(3-2a\right).\left(1+a^2\right)}\)

                                         \(\frac{3+2a}{3-2a}=VP\)(đpcm)

\(A=\frac{x-9}{\sqrt{x}-3}+\frac{x\sqrt{x}+27}{\sqrt{x}+3}\)

ĐKXĐ : \(\hept{\begin{cases}x\ge0\\x\ne9\end{cases}}\)

\(A=\frac{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}{\sqrt{x}-3}+\frac{\sqrt{x^3}+3^3}{\sqrt{x}+3}\)

\(=\frac{\sqrt{x}+3}{1}+\frac{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(x-3\sqrt{x}+9\right)}{\sqrt{x}+3}\)

\(=\left(\sqrt{x}+3\right)+\left(x-3\sqrt{x}+9\right)\)

\(=\sqrt{x}+3+x-3\sqrt{x}+9\)

\(=x-2\sqrt{x}+12\)

Ta có: \(A=\frac{x-9}{\sqrt{x}-3}+\frac{x\sqrt{x}+27}{\sqrt{x}+3}\)

    \(\Leftrightarrow A=\frac{\left(x-9\right)\left(\sqrt{x}+3\right)+\left(\sqrt{x}-3\right)\left(x\sqrt{x}+27\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)

    \(\Leftrightarrow A=\frac{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)^2+\left(\sqrt{x}-3\right)\left(x\sqrt{x}+27\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)

    \(\Leftrightarrow A=\frac{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(x+6\sqrt{x}+9+x\sqrt{x}+27\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)

    \(\Leftrightarrow A=\frac{\left(6\sqrt{x}+18\right)+\left(x\sqrt{x}+3x\right)-\left(2x-18\right)}{\sqrt{x}+3}\)

    \(\Leftrightarrow A=\frac{6.\left(\sqrt{x}+3\right)+x.\left(\sqrt{x}+3\right)-2.\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}{\sqrt{x}+3}\)

    \(\Leftrightarrow A=\frac{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(6+x-2\sqrt{x}+6\right)}{\sqrt{x}+3}\)

    \(\Leftrightarrow A=x-2\sqrt{x}+12\)

a) \(A=\frac{x\sqrt{x}-3}{x-2\sqrt{x}-3}-\frac{2\left(\sqrt{x}-3\right)}{\sqrt{x}+1}+\frac{\sqrt{x}+3}{3-\sqrt{x}}\)

\(=\frac{x\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}-\frac{2\left(\sqrt{x}-3\right)^2}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}+\frac{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(3-\sqrt{x}\right)}\)

\(=\frac{x\sqrt{x}-3-2\left(x-6\sqrt{x}+9\right)-\left(x+4\sqrt{x}+3\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)

\(=\frac{x\sqrt{x}-3x+8\sqrt{x}-24}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)

\(=\frac{x\left(\sqrt{x}-3\right)+8\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}=\frac{\left(x+8\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}=\frac{x+8}{\sqrt{x}+1}\)

b) \(x=14-6\sqrt{5}=\left(3-\sqrt{5}\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}=3-\sqrt{5}\)

\(A=\frac{x+8}{\sqrt{x}+1}=\frac{14-6\sqrt{5}+8}{3-\sqrt{5}+1}=\frac{22-6\sqrt{5}}{4-\sqrt{5}}\)

Vậy tìm gtnn