a) Gọi d là ƯCLN (12n+1;30n+2)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}12n+1⋮d\\30n+2⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}5\left(12n+1\right)⋮d\\2\left(30n+2\right)⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}60n+5⋮d\\60n+4⋮d\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow\left(60n+5\right)-\left(60n+4\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d=1\)

Vậy \(\frac{12n+1}{30n+2}\)là phân số tối giản

b) Đặt \(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}\)

\(\Rightarrow A< \frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{99\cdot100}\)

\(\Rightarrow A< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)

\(\Rightarrow A< 1-\frac{1}{100}< 1\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}< 1\left(đpcm\right)\)

a) Giả sử: 12n+1 / 30n+2 = d , ta có : (12n+1) chia hết d và (30n+2) chia hết cho d

Suy ra :[ 30(12n+1) / 12(30n+2) ] 

[ 5 (12+1) / 2 ( 30n+2) ] suy ra : (60n+5)-(60n+4) chia hết cho d hay chia hết cho 1

vậy 12n+1 / 30n+2 là phân số tối giản với mọi n thuộc Z

B) 1/2²+1/3²+1/4²+...+1/100²

< 1/1x2 +1/2x3 +1/3x4 +...+ 1/99x100

< 1/1 - 1/2 + 1/2 -1/3 +1/3 -1/4 +...+1/99 - 1/100

< 1 - 1/100 = 99 / 100 

Vì 99 /100 < 1 nên 1/2² + 1/3² + 1/4²+...+ 1/100^{2 <1}

ta có: \(A=\frac{2009^{10}+2}{2009^{11}+2}< 1\)

\(B=\frac{2009^{12}+2}{2009^{12}+2}=1\)

\(\Rightarrow A< B\)

\(A=\frac{2009^{10}+1}{2009^{11}+2}\)            \(B=\frac{2009^{12}+2}{2009^{12}+2}\)

Ta có A< 1 mà B=1 => A<B

a) 27/82 < 26/75 ( 2025/6250 < 2132\6250)

b) -49/78 > 64/ -95 ( - 3136/7410 > -4992/7410)

c) ta có: \(A=\frac{54.107-53}{53.107}=\frac{53.107+(107-53)}{53.107+54}=\frac{53.107+54}{53.107+54}=1\)

\(B=\frac{135.269-133}{134.269+135}=\frac{134.269+\left(269-133\right)}{134.269+135}=\frac{134.269+136}{134.269+135}>1\)

\(\Rightarrow A< B\)

d) ta có: \(A=\frac{3^{10}+1}{3^9+1}=\frac{3.\left(3^9+1\right)-2}{3^9+1}=\frac{3.\left(3^9+1\right)}{3^9+1}-\frac{2}{3^9+1}=3-\frac{2}{3^9+1}\)

\(B=\frac{3^9+1}{3^8+1}=\frac{3.\left(3^8+1\right)-2}{3^8+1}=\frac{3.\left(3^8+1\right)}{3^8+1}-\frac{2}{3^8+1}=3-\frac{2}{3^8+1}\)

mà \(\frac{2}{3^9+1}< \frac{2}{3^8+1}\Rightarrow3-\frac{2}{3^9+1}< 3-\frac{2}{3^8+1}\)

=> A < B

Cảm ơn Công chúa Ori nhìu nha

ta có : \(A=1+2+2^2+2^3+...+2^{2008}\)

\(\Rightarrow2A=2+2^2+2^3+2^4+...+2^{2009}\)

\(\Rightarrow2A-A=2^{2009}-1\)

\(A=2^{2009}-1\)

và B = 1 - 2^2009

cảm ơn bạn nhiều

a) chiều dài khu vườn là : 

   \(10\div\frac{2}{3}=15\left(m\right)\)

  diện tích khu vườn là : 

   \(10\cdot15=150\left(m^2\right)\)

b) \(75\%=\frac{3}{4}\)

chiều rộng ao cá là :

 \(8\cdot\frac{3}{4}=6\left(m\right)\)

diện tích ao cá là :

 \(8\cdot6=48\left(m^2\right)\)

c) tỉ số diện tích trồng cây ăn trái là và diện tích khu vườn là

\(150\div\left(150-48\right)=150-102=\frac{25}{17}\)

                                                                       Giải

Chiều dài khu vườn hình chữ nhật là:

\(10\div\frac{2}{3}=15(m)\) 

a. Diện tích khu vườn hình chữ nhật là:

\(10\times15=150\left(m^2\right)\) 

Đổi : \(75\%=\frac{3}{4}\)

Chiều rộng ao cá hình chữ nhật là:

\(8\times\frac{3}{4}=6\left(m\right)\)

Diện tích ao cá hình chữ nhật là:

\(8\times6=48\left(m^2\right)\)

Diện tích của khu vườn dành để trồng cây ăn trái là:

\(150-48=102\left(m^2\right)\)

Tỉ số phần trăm của diện tích trồng cây ăn trái và diện tích khu vườn là:

\((102\div150)\times100=68\%\)

Đáp số: a: Chiều dài: 15 m

                 Diện tích: 150 \(m^2\)

             b: Chiều rộng: 6 m

                 Diện tích: 48 \(m^2\)

             c: 68%

=-12,71

giai day du ho cai