chung minh rang voi a,b,c la cac so duong ,ta co (a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=9
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Câu hỏi của pham trung thanh - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Em tham khảo lời giải tại link trên nhé.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
1) A = 3 - 4x2 - 4x = - (4x2 + 4x +1) + 4 = - (2x+1)2 + 4
Vì - (2x+1)2 \(\le\)0 nên A = - (2x+1)2 + 4 \(\le\) 4 vậy maxA = 4 khi 2x+1 = 0 => x = -1/2
b) ta có x2 + 6x + 11 = x2 + 2.3x + 9 + 2 = (x+3)2 + 2 \(\ge\) 0 + 4 = 4
=> \(B=\frac{1}{x^2+6x+11}\le\frac{1}{4}\) vậy maxB = 1/4 khi x = -3
2) a) 3x2 - 3x + 1 = 3.(x2 - x) + 1 = 3.(x2 - 2.x\(\frac{1}{2}\) + \(\frac{1}{4}\)) + \(\frac{1}{4}\) = 3.(x - \(\frac{1}{2}\) )2 + \(\frac{1}{4}\) \(\ge\)0 + \(\frac{1}{4}\)= \(\frac{1}{4}\)
vậy min(3x2 - 3x + 1) = 1/4 khi x = 1/2
b) Áp dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối: |a| + |b| \(\ge\) |a - b|. dấu = khi a.b < 0
ta có: |3x - 3| + |3x - 5| \(\ge\) |3x - 3 - (3x - 5)| = |2| = 2
vậy min = 2 khi (3x - 3)(3x - 5) < 0 hay 1< x < 5/3
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
vì ME là phân giác của góc AMB nên \(\frac{EA}{EB}=\frac{MA}{MB}\)
MF là phân giác của góc AMC nên \(\frac{FA}{FB}=\frac{MA}{MC}\)
mà MB = MC nên \(\frac{EA}{EB}=\frac{FA}{FC}\). Theo ĐL Ta - let đảo => EF // BC
=> góc FEM = EMB
EFM = FMC
mà góc FEM = EFM (do tam giác MEF cân tại M)
=> góc EMB = FMC => góc AMB/ 2 = AMC/2 => góc AMB = AMC => góc AMB = AMC = 90o
=> AM vuông góc với BC hay AM là đường cao .lại có AM là trung tuyến nên tam giác ABC cân tại A
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Câu a)
Ta có a + b \(\ge\)1 => a \(\ge\) 1 - b
Nên a2 + b2 \(\ge\) (1 - b)2 + b2 = 2b2 - 2b + 1 = 2(b2 - 2b.1/2 + 1/4 + 1/2) = 2(b - 1/2)2 + 1 \(\ge\) 1
Câu b) Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có
(x + y)2 = (1.x + 1.y)2 \(\le\) (12 + 12)(x2 + y2) = 2.1 = 2
Dấu "=" xảy ra <=> x = y
câu1 : cần sửa lại là A2 + B2 \(\ge\frac{1}{2}\)
Ta chứng minh được : (A+B)2 \(\le2.\left(A^2+B^2\right)\) (*)
<=> A2 + B2 + 2A.B \(\le\) 2. (A2 + B2)
<=> 0 \(\le\) A2 + B2 - 2.A.B <=> 0 \(\le\) (A-B)2 luôn đúng => (*) đúng
b) Áp sung câu a => (x+y)2 \(\le\)2.(x2 + y2) = 2 => đpcm
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
A = 100* => B^ = C^ = 40*
trên CA lấy điểm E sao cho CB = CE
C^ = 40* và MCB^ = 20* => MCB^ = MCE^ = 20*
=> ΔCBM = Δ CEM ( c.g.c) => MEC^ = MBC^ = 10*
BCE^ = 40* và Δ BCE cân tại C => CEB^ = (180* - 40*)/2 = 70*
=>MEB^ = 60* (1)
ΔCBM = Δ CEM => MB = ME (2)
(1) và (2) => BME là tam giác đều MB = BE (1*)
ABC^ = 40* ; MBC^ = 10* => ABM^ = 30*
ABE^ = CBE^ - ABC^ = 70* - 40* = 30*
=> ABM^ = ABE^ (2*)
(1*) và (2*) => ΔABM = Δ ABE (vì có thêm AB là cạnh chung)
=> AMB^ = AEB^ = 70*
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng BĐT Cô-si a2+b2>=2ab, ta đc:
x^2+y^2>=2.x.y=2xy
x^2+1>=2.x.1=2x
y^2+1>=2.y.1=2y
Cộng vế theo vế ba BĐT trên, ta đc: x^2+y^2+x^2+1+y^2+1>=2xy+2x+2y
(=) 2(x^2+y^2+1)>=2(xy+x+y)
(=)x^2+y^2+1>=xy+x+y.
Ta có : x^2 + y^2 +1 >= xy +x +y
<=> 2(x^2+y^2 +1) >=2 ( xy+x+y) (*nhân 2 vào cả 2 vế)
<=> 2x^2+2y^2+2 >= 2xy+2x+2y
<=> 2x^2+2y^2+2-2xy-2x-2y >= 0
<=> x^2-2xy+y^2+x^2-2x+1+y^2-2y+1 >=0
<=> (x-y)^2 + ( x-1)^2 +(y-1)^2 >= 0
+ Với x,y thì (x-y)^2 >= 0;(x-1)^2>=0;(y-1)^2>=0 nên ...(ghi lại dòng trên)
Vậy : x^2 +y^2+1 >= xy+x+y
Ta có (a+b+c)(1/a+1/b+1/c) = 1 + 1 + 1 + a/b + a/c + b/a + b/c + c/a + c/b
= 3 + (a/b + b/a) + (a/c + c/a) + (b/c + c/b) (1)
Vì a, b, c > 0 nên ta có (Áp dụng Côsi)
a/b + b/a \(\ge\) 2 (2)
a/c + c/a \(\ge\) 2 (3)
b/c + c/b \(\ge\) 2 (4)
Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c) \(\ge\) 9
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c