Vẽ OM⊥AB⇒OM⊥CD. 

Xét đường tròn (O;OC)  (đường tròn nhỏ) có OM là một phần đường kính, CD là dây và  OM⊥CD nên M là trung điểm của CD hay MC=MD (định lý)

Xét đường tròn (O;OA)   (đường tròn lớn) có OM là một phần đường kính, AB là dây và OM⊥AB nên M là trung điểm của AB hay MA=MB (định lý)

Ta có MA=MB  và MC=MD (cmt) nên trừ các đoạn thẳng theo vế với vế ta được MA−MC=MB−MD ⇒AC=BD.

Nhận xét. Kết luận bài toán vẫn được giữ nguyên nếu C và D đổi chỗ cho nhau. 

á em lộn

a) Cho hai đường tròn (O; R)(O; R) và (O′; r)(O′; r) với R>r. Nếu OO′=R−rOO′=R−r thì hai đường tròn tiếp xúc trong.

b) +) Nếu tam giác có ba đỉnh nằm trên đường tròn và có 1 cạnh là đường kính của đường tròn đó thì tam giác đó là tam giác vuông. 

+) Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây đó.

Câu 5c) Phương trình hoành độ giao điểm \(\left(P\right)\)và \(\left(d\right)\)là: 

\(\frac{1}{2}x^2=2x+m\Leftrightarrow x^2-4x-2m=0\)(*)

Để  \(\left(P\right)\)và \(\left(d\right)\)cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt suy ra 

\(\Delta'=4+2m>0\Leftrightarrow m>-2\).

Theo Viet: 

\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=4\\x_1x_2=-2m\end{cases}}\)

\(\left(x_1x_2+1\right)^2=x_1+x_2+x_1x_2+3\)

\(\Leftrightarrow\left(-2m+1\right)^2=4-2m+3\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m=-1\\m=\frac{3}{2}\end{cases}}\)(thỏa mãn) 

bài 7 : a ) thay m = 3 vào hàm số y = mx +4 có : y = 3x + 4

pt hoành độ giao đieẻm của 2 đồ thị hafm số y =x² và y = 3x + 4 

              x² = 3x + 4 

          \(\Leftrightarrow\)   x^{2 - 3x -4 = 0} 

                a - b + c = 1 + 3 - 4 = 0

        \(\Rightarrow\)pt có 2 nghiệm x₁ = -1 ; x₂ = -

              thay x = -1 vào hàm số y = x² có : y = (-1)² = 1 

            thay x = 4 vào hàm số y = x² có : y = 4^{2 = 16}

   vậy toạ độ giao điểm cần tìm là ( -1 ; 1 ) ; (4 ; 16 )

Đổi 3h36 phút = \(3,6h\)

Gọi thời gian mà vòi thứ 1 chảy 1 mình đầy bể là x ( giờ )\(\left(x>3,6\right)\)

Gọi thời gian mà vòi thứ 2 chảy 1 mình đầy bể là y ( giờ ) \(\left(y>3,6\right)\)

1 giờ vòi 1 chảy được 1/x ( bể )

1 giờ vòi 2 chảy được 1/y ( bể ) 

Cả 2 vòi 1 giờ chảy được: \(\frac{1}{3,6}\left(h\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3,6}\left(1\right)\)

Vì nếu hai vòi chảy trong 1,5h rồi khóa vòi 1, vòi 2 chảy trong 3h nữa thì đầy bể nên ta có:

\(\frac{1,5}{x}+\frac{1,5}{y}+\frac{3}{y}=1\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ pt: \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3,6}\\\frac{1,5}{x}+\frac{4,5}{y}=1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1,5}{x}+\frac{1,5}{y}=\frac{5}{12}\\\frac{1,5}{x}+\frac{4,5}{y}=1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{3}{y}=\frac{7}{12}\\\frac{1,5}{x}+\frac{4,5}{y}=1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=\frac{36}{7}\left(tm\right)\\x=12\left(tm\right)\end{cases}}\)

Vậy vòi 1 chảy 1 mình trong 12h đầy bể, vòi 2 chảy 1 mình trong 36/7 giờ thì đầy bể 

( đúng ko ta )

 \(\frac{2+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{\frac{\left(2\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\left(2\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}{2\sqrt{2}-\sqrt{3}}}=\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}{5}\)

\(=\frac{4\sqrt{2}-2\sqrt{3}-3+2\sqrt{6}}{5}\)

mình làm thử vì mình chỉ quen trục căn thức ở tử thôi

\(\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\left(1+\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\left(1+\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}=\frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{1+2+2\sqrt{2}-3}\)

\(=\frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\)