đk: \(x\ge3\)

Ta có: \(x^2+\sqrt{2x+1}+\sqrt{x-3}=5x\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-16\right)+\left(\sqrt{2x+1}-3\right)+\left(\sqrt{x-3}-1\right)-\left(5x-20\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-4\right)\left(x+4\right)+\frac{2x-8}{\sqrt{2x+1}+3}+\frac{x-4}{\sqrt{x-3}+1}-5\left(x-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-4\right)\left(x+4+\frac{2}{\sqrt{2x+1}+3}+\frac{1}{\sqrt{x-3}+1}-5\right)=0\)

Vì \(\hept{\begin{cases}x+4\ge7\\\frac{2}{\sqrt{2x+1}+3}>0\\\frac{1}{\sqrt{x-3}+1}>0\end{cases}}\left(\forall x\ge3\right)\) nên từ đó:

\(\Rightarrow x+4+\frac{2}{\sqrt{2x+1}+3}+\frac{1}{\sqrt{x-3}+1}-5>0\left(\forall x\ge3\right)\)

\(\Rightarrow x-4=0\Rightarrow x=4\)

Vậy x = 4

Ta có: \(a+2b+3c=13\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)+2\left(b-1\right)+3\left(c-1\right)=7\)

Mà \(7^2=\left[\left(a-1\right)+2\left(b-1\right)+3\left(c-1\right)\right]^2\)

\(\le\left(1^2+2^2+3^2\right)\left[\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2\right]\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2\ge\frac{7}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(a-1=\frac{b-1}{2}=\frac{c-1}{3}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{3}{2}\\b=2\\c=\frac{5}{2}\end{cases}}\)

Bài này sửa đề thành \(\hept{\begin{cases}a,b,c\ge0\\a+b+c=1\end{cases}}\) thì mới chặt chẽ để có thể giải được

Khi đó \(0\le a,b,c\le1\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2\le a\\b^2\le b\\c^2\le c\end{cases}}\)

Ta cần chứng minh: \(\sqrt{7a+9}\ge a+3\)

\(\Leftrightarrow7a+9\ge a^2+6a+9\)\(\Leftrightarrow a\ge a^2\) (luôn đúng)

Tương tự chứng minh được:

\(\sqrt{7b+9}\ge b+3\) và \(\sqrt{7c+9}\ge c+3\)

Khi đó:

\(S=\sqrt{7a+9}+\sqrt{7b+9}+\sqrt{7c+9}\ge a+b+c+9=1+9=10\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}a=1\\b=c=0\end{cases}}\) và các hoán vị của chúng

https://olm.vn/hoi-dap/detail/81304135821.html

không hiện link thì mình gửi qua nhắn tin nhé 

Gọi 2 số đó là a và b 

Tổng 2 số là 13 : \(a+b=13\)

Tích 2 số là -90 : \(a.b=-90\)

Suy ra \(\hept{\begin{cases}a+b=13\\ab=-90\end{cases}}\)

\(< =>\hept{\begin{cases}a=13-b\\\left(13-b\right)b=-90\end{cases}}\)

\(< =>\hept{\begin{cases}a=13-b\\b^2-13b-90=0\end{cases}}\)

\(< =>\orbr{\begin{cases}b=18\\b=-5\end{cases}}< =>\hept{\begin{cases}a=-5\\b=18\end{cases}}or\hept{\begin{cases}a=18\\b=-5\end{cases}}\)

Vậy các cặp số ( a,b ) thỏa mãn là ...

\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(2m-3\right)=m^2+4>0,\forall m\inℝ\)

nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \(x_1+x_2\). 

Theo định lí Viete: 

\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m+2\\x_1x_2=2m-3\end{cases}}\)

\(P=\left|\frac{x_1+x_2}{x_1-x_2}\right|=\frac{\left|x_1+x_2\right|}{\left|x_1-x_2\right|}=\frac{\left|x_1+x_2\right|}{\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}}\)

\(=\frac{\left|2m+2\right|}{\sqrt{\left(2m+2\right)^2-4\left(2m-3\right)}}=\frac{\left|2m+2\right|}{\sqrt{4m^2+16}}=\frac{\left|m+1\right|}{\sqrt{m^2+4}}\ge0\)

Dấu \(=\)xảy ra khi \(m=-1\).