Không hiểu bằng cách nào một hạt cát lọt được vào bên trong cơ thể một con chai. Vị khách không mời mà đến đó tuy rất nhỏ nhưng gây nhiều khó chịu và đau đớn cho cơ thể mềm mại của con chai. Không thể tống hạt cát ra ngoài, cuối cùng con chai quyết định định đối phó bằng cách tiết ra một chất dẻo bọc quanh hạt cát. Ngày qua ngày, con chai đã biến hạt cát gây ra những nỗi đau cho mình thành một viên ngọc trai lấp lánh tuyệt đẹp. 

Em hãy đóng vai là con chai trong câu chuyện để kể về quá trình biến hạt cát thành viên ngọc quý giá.

So sánh : A = \(\frac{1}{2^2}\)+ \(\frac{1}{3^2}\)+ \(\frac{1}{4^2}\)+ ..............+ \(\frac{1}{2018^2}\)với    B = \(\frac{75}{100}\)

Ta có  \(\frac{1}{3^2}\)< \(\frac{1}{2.3}\)                   \(\frac{1}{4^2}\)< \(\frac{1}{3.4}\)               \(\frac{1}{2018^2}\)< \(\frac{1}{2017.2018}\)

Suy ra : A < \(\frac{1}{2^2}\)+ \(\frac{1}{2.3}\)+ \(\frac{1}{3.4}\)+............................+ \(\frac{1}{2017.2018}\)

Gọi biểu thức \(\frac{1}{2.3}\)+ \(\frac{1}{3.4}\)+ ............... +  \(\frac{1}{2017.2018}\)là C 

\(\Rightarrow\)A < \(\frac{1}{2^2}\) +  C = \(\frac{1}{4}\) +  \(\frac{1}{2}\)-  \(\frac{1}{3}\)+ \(\frac{1}{3}\)- \(\frac{1}{4}\)+ ...................+ \(\frac{1}{2017}\)-   \(\frac{1}{2018}\)=  \(\frac{1}{4}\)+  \(\frac{1}{2}\)-  \(\frac{1}{2018}\)

\(\Rightarrow\)A < ( \(\frac{1}{4}\)+  \(\frac{1}{2}\))    -   \(\frac{1}{2018}\) = \(\frac{3}{4}\) - \(\frac{1}{2018}\)< \(\frac{3}{4}\)=  \(\frac{75}{100}\)

\(\Rightarrow\)A < B =  \(\frac{75}{100}\)( đpcm)