Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức, chú ý đến dấu đẳng thức xẩy ra thì ta được:

\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{3ab}+\frac{1}{3bc}+\frac{1}{3ca}\)sẽ lớn hơn hoặc bằng:

\(\frac{16}{a^2+b^2+c^2+3\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{16}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2=12\)

\(\Rightarrow\)Ta cần chứng minh: \(\frac{2}{3}\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)\ge18\)

Để ý tiếp bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:

\(\frac{2}{3}\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)\ge\frac{6}{ab+bc+ca}\ge\frac{6}{\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2}=18\)

Do đó ta có bất đẳng thức:

\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}\)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

`Answer:`

`a.` Có `A(3;1),B(4;2)`

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\overrightarrow{OA}=\left(3;1\right)\\\overrightarrow{BA}=\left(x_A-x_B,y_A-y_B\right)=\left(-1;-1\right)\end{cases}}\)

`b.` Có \(\overrightarrow{OB}=\left(4;2\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=3.4+1.2=14\ne0\)

Vậy `OA` không vuông góc `OB`

=1e+22

x∈[2.88769272473254

`Answer:`

`A=|x+2|+|x+5|=|x+2|+|-x-5|`

Mà \(\hept{\begin{cases}\left|x+2\right|\ge0\\\left|-x-5\right|\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\left|x+2\right|+\left|-x-5\right|\ge\left|x+2-x-5\right|=3\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của `A=3<=>(x+2)(-x-5)>=0<=>-5<x<-2`

`B=|x-3|+|x-1|+|x+1|+|x+3|`

Mà `{(|x-3|>=0∀x),(|x-1|>=0∀x),(|x+1|>=0∀x),(|x+3|>=0∀x):}=>|x-3|+|x-1|+|x+1|+|x+3|>=0∀x`

Dấu "=" xảy ra `<=>{(x-3=0),(x-1=0),(x+1=0),(x+3=0):}<=>{(x=3),(x=1),(x=-1),(x=-3):}`

`Answer:`

`\sqrt{2x-1}<=8-x(ĐKXĐ:x>=\frac{1}{2})`

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}8-x\ge0\\2x-1\le\left(8-x\right)^2\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le8\\2x-1\le x^2-16x+64\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le8\\x^2-18x+65\ge0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le8\\x\ge13\text{ or }x\le5\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow x\le5\)

Cùng kết hợp với ĐKXĐ thì có \(\frac{1}{2}\le x\le5\)

\(\Leftrightarrow S=[\frac{1}{2};5]\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{1}{2}\\b=5\end{cases}}\Leftrightarrow2a+b=2.\frac{1}{2}+5=6\)

`Answer:`

`\sqrt{2x-1}<=8-x(ĐKXĐ:x>=1/2)`

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}8-x\ge0\\2x-1\le\left(8-x\right)^2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le8\\2x-1\le x^2-16x+64\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le8\\x^2-18x+65\ge0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le8\\x\ge13\text{ or }x\le5\end{cases}}}\Leftrightarrow x\le5\)

Kết hợp với ĐKXĐ, ta có:

`1/2<=x<=5`

\(\Rightarrow S=[\frac{1}{2};5]\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{1}{2}\\b=5\end{cases}}\Rightarrow2a+b=2.\frac{1}{2}+5=6\)

Vậy `2a+b=6`

TH1: m+1=0 <=> m=-1

Khi đó bpt là -2(-1+1)x+4 >= 0 <=> -4x+4 >= 0 <=> x<=1 (KTM S=R) => loại

TH2: m+1 khác 0 <=> m khác -1

Để bpt (m+1)x2 -2(m+1)x+4 ≥ 0 có nghiệm với mọi x 

<=> \(\left\{{}\begin{matrix}a>0\\\Delta'\le0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+1>0\\\left[-\left(m+1\right)\right]^2-4\left(m+1\right)\le0\end{matrix}\right.\)

<=>\(\left\{{}\begin{matrix}m>-1\\m^2-2m-3\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-1\\\left[{}\begin{matrix}m< -1\\m>3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m>3\)

Vậy m>3 thì...

ukm!!!!!!!