\(M=2\left(x^3-y^3\right)-3\left(x^2+2xy+y^2\right)\)

\(=2\left[\left(x-y\right)^3+3xy\left(x-y\right)\right]-3\left(x^2-2xy+y^2+4xy\right)\)

\(=2.\left[\left(x-y\right)^3+3xy\left(x-y\right)\right]-3\left[\left(x-y\right)^2+4xy\right]\)

Thay \(x-y=2\)vào biểu thức ta được:

\(M=2.\left(2^3+3xy.2\right)-3\left(2^2+4xy\right)=2.\left(8+6xy\right)-3.\left(4+4xy\right)\)

\(=16+12xy-12-12xy=4\)

\(\frac{2}{a}-\frac{b+1}{3}=\frac{1}{2}\)

=> \(\frac{6-ab+a}{3a}=\frac{1}{2}\)

=> 2(6 - ab + a) = 3a

=> 12 - 2ab + 2a = 3a

=> 2ab + a = 12

=> a(2b + 1) = 12

Ta có 12 = 1.12 = (-1).(-12) = 3.4 = (-3).(-4) = 6.2 = (-6).(-2)

Lập bảng xét 12 trường hợp

Vậy các cặp (a;b) nguyên thỏa mãn là (12 ; 0) ;(-12 ; -1) ; (4 ; 1) ; (-4 ; -2)

Bg (phải thế này không ?)

\(\frac{2}{a}-\frac{b+1}{3}=\frac{1}{2}\)

\(\frac{2}{a}=\frac{1}{2}+\frac{b+1}{3}\)

\(\frac{2}{a}=\frac{3}{6}+\frac{2.\left(b+1\right)}{6}\)

\(\frac{2}{a}=\frac{3}{6}+\frac{2b+2}{6}\)

\(\frac{2}{a}=\frac{3+2b+2}{6}\)

\(\frac{2}{a}=\frac{2b+5}{6}\)

\(\frac{12}{a}=2b+5\)

\(a.\left(2b+5\right)=12\)= 1.12 = 12.1 = 3.4 = 4.3 = 2.6 = 6.2 = -1.(-12) = -12.(-1) = -3.(-4) = -4.(-3) = -2.(-6) = -6.(-2)

Nhận thấy 2b + 5 lẻ

=> a.(2b + 5) = 12.1 = 4.3 = -12.(-1) = -4.(-3)

Lập bảng:

Vậy các cặp {a; b} thỏa mãn là: (12; -2) ; (4; -1) ; (-12; -3) ; (-4; -4)

Bài 1:

a) \(\hept{\begin{cases}\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2010}\ge0\left(\forall x\right)\\\left(y+\frac{3}{7}\right)^{468}\ge0\left(\forall y\right)\end{cases}}\Rightarrow\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2010}+\left(y+\frac{3}{7}\right)^{468}\ge0\left(\forall x,y\right)\)

Kết hợp với đề bài, dấu "=" xảy ra khi:

\(\hept{\begin{cases}\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2010}=0\\\left(y+\frac{3}{7}\right)^{468}=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{2}{5}\\y=-\frac{3}{7}\end{cases}}\)

b) \(\hept{\begin{cases}\left(x+0,7\right)^{84}\ge0\left(\forall x\right)\\\left(y-6,3\right)^{262}\ge0\left(\forall y\right)\end{cases}\Rightarrow}\left(x+0,7\right)^{84}+\left(y-6,3\right)^{262}\ge0\left(\forall x,y\right)\)

Kết hợp với đề bài, dấu "=" xảy ra khi:

\(\hept{\begin{cases}\left(x+0,7\right)^{84}=0\\\left(y-6,3\right)^{262}=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-0,7\\y=6,3\end{cases}}\)

c) \(\hept{\begin{cases}\left(x-5\right)^{88}\ge0\left(\forall x\right)\\\left(x+y+3\right)^{496}\ge0\left(\forall x,y\right)\end{cases}\Rightarrow}\left(x-5\right)^{88}+\left(x+y+3\right)^{496}\ge0\left(\forall x,y\right)\)

Kết hợp với đề bài, dấu "=" xảy ra khi:

\(\hept{\begin{cases}\left(x-5\right)^{88}=0\\\left(x+y+3\right)^{496}=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=5\\y=-8\end{cases}}\)

Bài 2:

Theo giả thiết ta có thể suy ra: \(x>y\)

Ta có: \(2^x-2^y=224\)

\(\Leftrightarrow2^y\left(2^{x-y}-1\right)=224=32.7=2^5.7\)

Mà \(2^{x-y}-1\) luôn lẻ với mọi x,y nguyên

=> \(\hept{\begin{cases}2^{x-y}-1=7\\2^y=2^5\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}2^{x-y}=8=2^3\\y=5\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=8\\y=5\end{cases}}\)

a) A = (x - 1)^2 + |2y - 1| + 5.

Ta có: (x - 1)^2 là số chính phương => (x - 1)^2 >= 0 với mọi x; |2y - 1| >= 0 với mọi y.

=> A = (x - 1)^2 + |2y - 1| + 5 >= 0 + 0 + 5 = 5. => A >= 5

Vậy GTNN của A là 5. Dấu "=" xảy ra <=> x = 1; y = 1/2.

b) B = x + |x - 20| + 80.

Ta có: B = x + |x - 20| + 80 = x + |20 - x| + 80 >= x + (20 - x) + 80 = 20 + 80 = 100. => B >= 100.

Vậy GTNN của B là 100. Dấu "=" xảy ra <=> x = 0 hoặc x = 10 hoặc x = 20.

Nếu như đề bài bảo tìm GTNN của biểu thức thì bạn tìm xem biểu thức đó >= bao nhiêu, và giá trị đó sẽ là GTNN của biểu thức. Còn nếu như đề bài bảo tìm GTLN của biểu thức thì bạn làm ngược lại.

a. Vì \(\left(x-1\right)^2\ge0\forall x\); \(\left|2y-1\right|\ge0\forall y\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)^2+\left|2y-1\right|\ge0\forall x;y\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)^2+\left|2y-1\right|+5\ge5\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\left(x-1\right)^2=0\\\left|2y-1\right|=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-1=0\\2y-1=0\end{cases}\Leftrightarrow}\orbr{\begin{cases}x=1\\y=\frac{1}{2}\end{cases}}}\)

Vậy Amin = 5 <=> x = 1 ; y = 1/2

b.

+) Nếu  \(x\ge20\)

\(\Rightarrow B=x+\left|x-20\right|+80=x+x-20+80=2x+60\ge100\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow2x=40\Leftrightarrow x=20\left(tm\right)\)

+) Nếu \(x< 20\)

\(\Rightarrow B=x+\left|x-20\right|+80=x+\left[-\left(x-20\right)\right]+80\)

\(\Rightarrow B=x-x+20+80=100\)

Vậy Bmin = 100 \(\Leftrightarrow x\le20\)

Bài làm:

a) \(\left|\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}\right|-1=-\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left|\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}\right|=\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}=\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}=-\frac{1}{2}\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\frac{1}{2}x=3\\\frac{1}{2}x=2\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=6\\x=4\end{cases}}\)

+ Nếu x = 6

\(\left|12-\frac{1}{3}y\right|=\frac{5}{6}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}12-\frac{1}{3}y=\frac{5}{6}\\12-\frac{1}{3}y=-\frac{5}{6}\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\frac{1}{3}y=\frac{67}{6}\\\frac{1}{3}y=\frac{77}{6}\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}y=\frac{67}{2}\\y=\frac{77}{2}\end{cases}}\)

+ Nếu x = 4

\(\left|8-\frac{1}{3}y\right|=\frac{5}{6}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}8-\frac{1}{3}y=\frac{5}{6}\\8-\frac{1}{3}y=-\frac{5}{6}\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\frac{1}{3}y=\frac{43}{6}\\\frac{1}{3}y=\frac{53}{6}\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}y=\frac{43}{2}\\y=\frac{53}{2}\end{cases}}\)

Vậy ta có 4 cặp số (x;y) thỏa mãn: \(\left(6;\frac{67}{2}\right);\left(6;\frac{77}{2}\right);\left(4;\frac{43}{2}\right);\left(4;\frac{53}{2}\right)\)

b) \(\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}\left(x-\frac{2}{3}\right)=\frac{5}{3}\)

\(\Leftrightarrow\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}=\frac{5}{3}\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{4}{3}\)

Thay vào ta được:

\(\frac{2.\frac{4}{3}+y}{\frac{4}{3}-2y}=\frac{5}{4}\)

\(\Leftrightarrow\frac{32}{3}+4y=\frac{20}{3}-10y\)

\(\Leftrightarrow14y=-4\)

\(\Rightarrow y=-\frac{2}{7}\)

Vậy ta có 1 cặp số (x;y) thỏa mãn: \(\left(\frac{4}{3};-\frac{2}{7}\right)\)

a) Xét \(\Delta ABC\)có :

AH là đường cao đồng thời là đường trung trực( AH \(\perp\)BD , BH = HD )

\(\Rightarrow\)\(\Delta ABC\)cân tại A

1. a. \(3^{2010}=\left(3^2\right)^{1005}=9^{1005}\)

Vì \(9^{1005}< 10^{1005}\)

nên \(3^{2010}< 10^{1005}\)

b. Ta có :

\(3^{2010}=3.3.3.3....3\)( 2010 chữ số 3 )

\(\Rightarrow3^{2010}=\left(3.3\right)\left(3.3\right)\left(3.3\right)...\left(3.3\right)=9.9.9.9...9\)( 1005 chữ số 9 )

Xét \(9.9.9...9.9< 9.10.10.10...10=90000...00\) ( 1004 chữ số 0 và 1 chữ số 9 ). Nghĩa là có 1005 chữ số

Vậy \(3^{2010}\) có ít hơn 1006 chữ số

1.a)Ta có 3²⁰¹⁰ = (3²)¹⁰⁰⁵ = 9¹⁰⁰⁵ < 10¹⁰⁰⁵ 

=> 3²⁰¹⁰ < 10¹⁰⁰⁵

b) Vì 3²⁰¹⁰ < 10¹⁰⁰⁵ (cmt)

mà 10¹⁰⁰⁵ là số có 1005 chữ số 

=> 3²⁰¹⁰ là số có ít hơn 1006 chữ số 

2. a) Ta có 333⁴⁴⁴ = (3.111)⁴⁴⁴ = 3⁴⁴⁴.111⁴⁴⁴ = (3⁴)¹¹¹ . 111⁴⁴⁴ = 81¹¹¹.111⁴⁴⁴ > 8¹¹¹. 111⁴⁴⁴ 

=> 333⁴⁴⁴ > 8¹¹¹. 111⁴⁴⁴

b) Ta có 333⁴⁴⁴ (3.111)⁴⁴⁴ = 3⁴⁴⁴.111⁴⁴⁴ = (3⁴)¹¹¹.111⁴⁴⁴ = 81¹¹¹.111⁴⁴⁴ (1)

Lại có 444³³³ = (4.111)³³³ = 4³³³.111³³³ = (4³)¹¹¹.111³³³ = 64¹¹¹.111³³³ (2)

Từ (1)(2) => 333⁴⁴⁴ > 444³³³

a)

=>     \(x+2=69\)

=>     \(x=67\)

b)

=>     \(2^{x-5}=2^{30}\)

=>     \(x-5=30\)

=>     \(x=35\)

c) 

=>     \(3^x\left(3^2+1\right)=810\)

=>     \(3^x.10=810\)

=>     \(3^x=81\)

=>     \(x=4\)

d) 

=>    \(5^x\left(5-1\right)=500\)

=>    \(5^x.4=500\)

=>    \(5^x=125\)

=>    \(x=3\)

a) 3^{x + 2} = 3⁶⁹

=> x + 2 = 69

=> x = 67

b) 2^{x - 5} = 8¹⁰

=> 2^{x - 5} = (2³)¹⁰

=> 2^{x - 5} = 2³⁰

=> x - 5 = 30

=> x =35

c) 3^{x + 2} + 3^x = 810

=> 3^x(3² + 1) = 810

=> 3^x.10 = 810

=> 3^x = 81

=> 3^x = 3⁴

=> x = 4

d) 5^{x + 1} - 5^x = 500

=> 5^x(5 - 1) = 500

=> 5^x.4 = 500

=> 5^x = 125

=> 5^x = 5³

=> x = 3

Bài làm:

Ta có: \(x^2-x+1\)

\(=\left(x^2-x+\frac{1}{4}\right)+\frac{3}{4}\)

\(=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\left(\forall x\right)\)

Bg

Ta có: x² - x + 1  (x \(\inℝ\))

= (x - 1).x + 1

Với x < 0:

=> (x - 1).x > 0

=> (x - 1).x + 1 > 0

=> x² - x + 1 > 0

=> ĐPCM

Với x = 0:

=> x² - x + 1 = 0² - 0 + 1 = 1 > 0

=> ĐPCM

Với x > 0

=> (x - 1).x > 0

=> (x - 1).x + 1 > 0

=> x² - x + 1 > 0

=> ĐPCM

Vậy x² - x + 1 luôn > 0 với mọi x \(\inℝ\)

mọi người giúp mình nha

a) \(\frac{7^3.5^8}{49.25^4}=\frac{7^3.5^8}{7^2.5^8}=7\)

b) \(\frac{3^9.25.5^3}{15.625.3^8}=\frac{3^9.5^2.5^3}{3.5.5^4.3^8}=\frac{3^9.5^5}{3^9.5^5}=1\)

c) \(\frac{2^{50}.3^{61}+2^{90}.3^{16}}{2^{51}.3^{61}+2^{91}.3^{16}}=\frac{2^{50}.3^{16}\left(3^{45}+2^{40}\right)}{2^{51}.3^{16}\left(3^{45}+2^{40}\right)}=\frac{1}{2}\)

d) \(\left(\frac{2}{5}-\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{5}\right)^2\)

\(=\left(\frac{-1}{10}\right)^2+\left(\frac{11}{10}\right)^2\)

\(=\frac{1}{100}+\frac{121}{100}=\frac{122}{100}=\frac{61}{50}\)