Áp dụng bđt \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\Rightarrow\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\ge xy\)

Ta có \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{2}{ab}\ge\frac{2}{\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}=\frac{8}{\left(a+b\right)^2}\)

Dấu "=" tại a = b

Tham khảo bài 8 trong link: Câu hỏi của Nguyễn Linh Chi - Toán lớp - Học toán với OnlineMath

Tham khảo link này : https://olm.vn/hoi-dap/detail/223163065606.html

Đặt x(km/h) là vận tốc dự định của xe. (ĐK:x>0)

Thời gian dự định của xe là 100/x (h)

Vận tốc của xe sau mỗi giờ tăng thêm 20 km nên thời gian thực tế là: x+20 (km/h)

Thời gian thực tế của xe là: 100 / x+20

Vì xe đến sớm hơn dự định 50 phút là 5/6 giờ nên 

\(\frac{100}{x}=\frac{100}{x+20}+\frac{5}{6}\)

Bạn giải phương trình được 40 nhé

viết rõ đề dc ko bạn ơi 2 vế so sánh vế nào với vế nào ạ?

\(\frac{4}{5}\sqrt{3}+\frac{9}{13}\sqrt{2}=\frac{52\sqrt{3}+45\sqrt{2}}{65}=2,364711574\)  \(< 2,4\)

vậy \(\frac{4}{5}\sqrt{3}+\frac{9}{13}\sqrt{2}< 2,4\)

Ta có \(1+x^2=x^2+xy+yz+xz=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\)

Tương tự  \(1+y^2=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\)

\(1+z^2=\left(x+z\right)\left(y+z\right)\)

Thay vào A ta được

\(P=x\sqrt{\left(y+z\right)^2}+y\sqrt{\left(x+z\right)^2}+z\sqrt{\left(x+y\right)^2}\)

=2(xy+xz+yz)=2

\(b,VT=VP\)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{xy+yz+zx+x^2}+\frac{y}{xy+yz+zx+y^2}+\frac{z}{xy+yz+zx+z^2}\)

                                                                                                                                                                                                                                                                                    \(=\frac{2xyz}{\sqrt{\left(xy+yz+zx+x^2\right)\left(xy+yz+zx+y^2\right)\left(xy+yz+zx+z^2\right)}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{y}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}+\frac{z}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}\)

                                                                                \(=\frac{2xyz}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)\left(y+x\right)\left(z+x\right)\left(y+z\right)}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x\left(y+z\right)+y\left(x+z\right)+z\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}=\frac{2xyz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)

\(\Leftrightarrow xy+xz+xy+yz+xz+yz=2xyz\)

\(\Leftrightarrow2=2xyz\)

\(\Leftrightarrow xyz=1\)

Đù =)))

a, x²-7=\(\left(x-\sqrt{7}\right)\left(x+\sqrt{7}\right)\)

b, x²-3=\(\left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+\sqrt{3}\right)\)

Học tốt!!!!!!!!!!

a/ \(x^2-7\)

\(=\left(x-\sqrt{7}\right)\left(x+\sqrt{7}\right)\)

b/ \(x^2-3\)

\(=\left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+\sqrt{3}\right)\)

c/ \(x^2-2\sqrt{13}x+13\)

\(=\left(x-\sqrt{13}\right)^2\)

Mấy bài này áp dụng HĐT nhé bạn :3

Gọi hai trung tuyến kẻ từ B, C là BM và CN, chúng cắt nhau tại O

Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng : Nếu hai trung tuyến đó vuông góc thì b^2 + c^2 = 5a^2 , từ đó suy ra điều ngược lại (vì mệnh đề này đúng với thuận và đảo)
Gỉa sử BM vuông góc với CN tại O
Ta đặt OM = x => OB = 2x và => OC =2y
AB^2/4 + AC^2/4= NB^2 + MC^2 = ON^2 + OB^2 + OM^2 + OC^2 = 5(x^2 + y^2)
=> AB^2 + AC^2 = 20(x^2 + y^2)
Mà BC^2 = OC^2 + OB^2 = 4(x^2 + y^2)
Suy ra : AB^2 + AC^2 = 5.4(x^2 + y^2) = 5BC^2 hay b^2 + c^2 = 5a^2
Vậy ta có điều ngược lại là nếu b^2 + c^2 = 5a^2 thì hai trung tuyến vuông góc

ĐKXĐ: \(|x|\ge|y|,y\ne0,y\ne5.\)Ta có: 

Với \(x+\sqrt{x^2-y^2}=0\)thế vào (1) ta được \(x=0\). Khi đó thay x=0 vào (2):

\(0=\frac{5}{6\left(5-y\right)}\)(vô lí) 

\(\Rightarrow x+\sqrt{x^2-y^2}\ne0\), Ta có:

\(\hept{\begin{cases}\frac{x+\sqrt{x^2-y^2}}{x-\sqrt{x^2-y^2}}=\frac{9x}{5}\\\frac{x}{y}=\frac{5+3x}{6\left(5-y\right)}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{\left(x+\sqrt{x^2-y^2}\right)^2}{\left(x-\sqrt{x^2-y^2}\right)\left(x+\sqrt{x^2-y^2}\right)}=\frac{9x}{5}\\6x\left(5-y\right)=\left(5+3x\right)y\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{\left(x+\sqrt{x^2-y^2}\right)^2}{y^2}=\frac{9x}{5}\left(3\right)\\30x=5y+9xy\left(4\right)\end{cases}}\)

Ta thấy  Vế trái của phương trình (3) lớn hơn 0 => \(\frac{9x}{5}>0\Rightarrow x>0\)

Khi đó (4) \(\Leftrightarrow y=\frac{30x}{5+9x}>0\)

Vậy \(x,y>0\), Tiếp tục biến đổi từ (3) và (4) ta có hệ:

\(\hept{\begin{cases}\frac{x^2+2x\sqrt{x^2-y^2}+x^2-y^2}{y^2}=\frac{9x}{5}\\\left(9x+5\right)y=30x\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}\frac{2x^2}{y^2}+\frac{2x}{y}.\sqrt{\frac{x^2-y^2}{y^2}}-1=\frac{9x}{5}\\9x+5=30\frac{x}{y}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2\left(\frac{x}{y}\right)^2+2\frac{x}{y}\sqrt{\left(\frac{x}{y}\right)^2-1}=\frac{9x+5}{5}\\\frac{9x+5}{5}=6\frac{x}{y}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2\left(\frac{x}{y}\right)^2+2\frac{x}{y}\sqrt{\left(\frac{x}{y}\right)^2-1}=6\frac{x}{y}\left(5\right).\\9x+5=30\frac{x}{y}\left(6\right)\end{cases}}\)

Đặt \(\frac{x}{y}=a>0\)ta có;

\(\left(5\right)\Leftrightarrow2a^2+2a\sqrt{a^2-1}=6a\)\(\Leftrightarrow a^2+a\sqrt{a^2-1}-3a=0\Leftrightarrow a+\sqrt{a^2-1}-3=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{a^2-1}=3-a\Leftrightarrow a^2-1=9-6a+a^2\Leftrightarrow6a=10\Leftrightarrow a=\frac{5}{3}\)

\(\Rightarrow\frac{x}{y}=\frac{5}{3}\)Thế vào (6) ta được \(9x+5=30.\frac{5}{3}\Leftrightarrow x=5\left(TMĐK\right).\)

\(\Rightarrow y=\frac{3.5}{5}=3\left(TMĐK\right).\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(\left(x;y\right)=\left(5;3\right).\)

Mong các bạn góp ý cho bài của mình để lần sau mình rút kinh nghiệm .cảm ơn

\(a,\)\(\sqrt{5x^2-3x-8}\)

\(đkxđ\Leftrightarrow5x^2-3x-8\ge0\)

\(\Rightarrow5x^2+5x-8x-8\ge0\)

\(\Rightarrow5x\left(x+1\right)-8\left(x+1\right)\ge0\)

\(\Rightarrow\left(x+1\right)\left(5x-8\right)\ge0\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x+1\ge0;5x-8\ge0\\x+1< 0;5x-8< 0\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x\ge-1;x\ge\frac{8}{5}\\x< -1;x< \frac{8}{5}\end{cases}\Rightarrow}\orbr{\begin{cases}x\ge\frac{8}{5}\\x< -1\end{cases}}}\)

\(b,\)\(\sqrt{5x^2+4x+7}\)

\(đkxđ\Leftrightarrow5x^2+4x+7\ge0\)

\(\Rightarrow5\left(x^2+\frac{4}{5}x+\frac{7}{5}\right)\ge0\)

\(\Rightarrow5\left(x^2+2.\frac{2}{5}+\frac{4}{25}-\frac{4}{25}+\frac{7}{5}\right)\ge0\)

\(\Rightarrow5\left[\left(x+\frac{2}{5}\right)^2+\frac{31}{25}\right]\ge0\)

\(\Rightarrow5\left(x+\frac{2}{5}\right)^2+\frac{31}{5}\ge0\)( luôn đúng )

\(\Rightarrow\)Biểu thức được xác định với \(\forall x\)

\(A=x-2\sqrt{xy}+3y-2\sqrt{x}+1\)

     \(=\frac{1}{3}x-2\sqrt{\frac{1}{3}x}.\sqrt{3y}+3y+\frac{2}{3}x-2\sqrt{\frac{2}{3}x}.\sqrt{\frac{3}{2}}+\frac{3}{2}-\frac{3}{2}+1\)

      \(=\left(\sqrt{\frac{1}{3}x}-\sqrt{3y}\right)^2+\left(\sqrt{\frac{2}{3}x}-\sqrt{\frac{3}{2}}\right)^2+1-\frac{3}{2}\ge\frac{-1}{2}\)

      Dấu "=" xảy ra <=>  \(\hept{\begin{cases}\sqrt{\frac{1}{3}x}-\sqrt{3y}=0\\\sqrt{\frac{2}{3}x}-\sqrt{\frac{3}{2}}=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{3}x=3y\\\frac{2}{3}x=\frac{3}{2}\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=\frac{1}{4}\\x=\frac{9}{4}\end{cases}}}\)

Vậy A_min = -1/2 khi x = 9/4 và y = 1/4

P/s: Phân tích hơi lẻ nhưng chịu thôi. Bạn xem đi có gì không hiểu hỏi mình.

Bạn nào giải hộ mình với đang cần gấp