\(C=\frac{2^3+1}{2^3-1}.\frac{3^3+1}{3^3-1}...\frac{9^3+1}{9^3-1}\)

\(=\frac{\left(2+1\right)\left[\left(2-0,5\right)^2+0,75\right]}{\left(2-1\right)\left[\left(2+0,5\right)^2+0,75\right]}.\frac{\left(3+1\right)\left[\left(3-0,5\right)^2+0,75\right]}{\left(3-1\right)\left[\left(3+0,5\right)^2+0,75\right]}...\frac{\left(9+1\right)\left[\left(9-0,5\right)^2+0,75\right]}{\left(9-1\right)\left[\left(9-0,5\right)^2+0,75\right]}\)

\(=\frac{3\left(1,5^2+0,75\right)}{2,5^2+0,75}.\frac{4\left(2,5^2+0,75\right)}{2\left(3,5^2+0,75\right)}...\frac{10\left(8,5^2+0,75\right)}{8\left(9,5^2+0,75\right)}\)

\(=\frac{3.4.5...10}{1.2.3...8}.\frac{1,5^2+0,75}{9,5^2+0,75}\)

\(=\frac{9.10}{1.2}.\frac{3}{91}=\frac{3}{2}.\frac{90}{91}< \frac{3}{2}\)(đpcm)

Gọi khoảng cách 2 bến là x 

Vận tốc xuôi dòng của cano là : \(\frac{x}{4}\)km/h 

Vận tốc ngược dòng của cano là : \(\frac{x}{5}\)km/h 

mà vận tốc dòng nước là 2 km/h nên ta có phương trình 

\(\frac{x}{4}-2=\frac{x}{5}+2\Leftrightarrow x=80\)km 

Vậy quãng đường AB là 80 km 

Gọi vận tốc cano là x ( x > 0, km/h )

Vận tốc xuôi dòng là x + 2 km/h 

Vận tốc ngược dòng là x - 2 km/h 

Quãng đường cano phải đi được ( xuôi dòng ) là 4( x + 2 ) km 

Quãng đường cano phải đi được ( ngược dòng ) là 5( x - 2 ) km 

Vì quãng đường không đổi nên ta có phương trình 

\(4\left(x+2\right)=5\left(x-2\right)\Leftrightarrow4x+8=5x-10\Leftrightarrow x=18\)

Quãng đường AB dài : \(5\left(18-2\right)=5.16=80\)( km ) 

\(\left(1-\frac{1}{x^2}\right)\left(1-\frac{1}{y^2}\right)=\left(1-\frac{1}{x}\right)\left(1-\frac{1}{y}\right)\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)\)

\(=\frac{x-1}{x}\frac{y-1}{y}\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)\)

\(=\frac{xy-x-y+1}{xy}\left(1+\frac{1}{y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{xy}\right)\)

\(=\frac{-\left(x+y\right)+1}{xy}\left(\frac{xy+x+y+1}{xy}\right)=1+\frac{2}{xy}\)

 mà \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow1+\frac{2}{\frac{1}{4}}=9\)Dấu ''='' xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

\(a^2-b^2\le2\left(a^2+b^2\right)\Leftrightarrow a^2-b^2\le2a^2+2b^2\)

\(\Leftrightarrow-a^2-3b^2\le0\Leftrightarrow-\left(a^2+3b^2\right)\le0\) ( đúng )

D E F 4 6 H K I G

a, tam giác DEF vuông tại D, có đường cao DH 

Áp dụng định lí Py ta go ta có : 

\(EF^2=ED^2+EF^2=16+36=52\Rightarrow EF=2\sqrt{13}\)cm 

Do EK là phân giác \(\Rightarrow\frac{ED}{EF}=\frac{DK}{KF}\)( mà \(FK=DF-DK=6-DK\))

\(\Rightarrow\frac{4}{2\sqrt{13}}=\frac{DK}{6-DK}\Rightarrow24-4DK=2\sqrt{13}DK\)

\(\Leftrightarrow24=6\sqrt{13}DK\Rightarrow DK=4\sqrt{13}\)cm 

\(\Rightarrow KF=DF-KD=6-4\sqrt{13}=2\sqrt{13}\)cm 

b, Xét tam giác DEK và tam giác HEI ta có : 

^DEK = ^HEI ( EK là phân giác )

^EDK = ^EHI = 90⁰

Vậy tam giác DEK ~ tam giác HEI ( g.g )

\(\Rightarrow\frac{DE}{HE}=\frac{EK}{EI}\)( tỉ số đồng dạng ) \(\Rightarrow DE.EI=EK.HE\)

\(\frac{x-3}{x-2}+\frac{x-2}{x-4}=-1\)ĐKXĐ : \(x\ne2;4\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-3\right)\left(x-4\right)+\left(x-2\right)^2}{\left(x-2\right)\left(x-4\right)}=\frac{-\left(x-2\right)\left(x-4\right)}{\left(x-2\right)\left(x-4\right)}\)

\(\Rightarrow x^2-7x+12+x^2-4x+4=-\left(x^2-6x+8\right)\)

\(\Leftrightarrow2x^2-11x+16=-x^2+6x-8\)

\(\Leftrightarrow3x^2-17x+24=0\Leftrightarrow\left(3x-8\right)\left(x-3\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{8}{3}\\x=3\end{cases}}\) 

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = { 3 ; 8/3 }

số 1 nhỏ là mk ghi nhầm á nha.. bỏ nó đi

Chứng tỏ : 2003 + (-35 ) < 2004 + ( - 35 )

Giải :
Ta có : 2003 < 2004 
Cộng -35 vào cả hai vế của bất đẳng thức trên ta được 2003 + (-35) < 2004 + (-35) 

2003 + ( -35 ) < 2004 + ( - 35 )