C108: Thấy cái này hay hay nên chăm hơn chứ lười quá :v

Đặt \(xy=t\Rightarrow x^2+y^2=4-2t\).

Ta cần chứng minh \(t\left(4-2t\right)\le2\). (*)

Thật vậy \((*)\Leftrightarrow 2(t-2)^2\geq 0\) (luôn đúng).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(xy=2\) tức x = y =1

C108 :

Áp dụng BĐT Cô - si ta có :

\(xy\left(x^2+y^2\right)=\dfrac{1}{2}\cdot\left[2xy.\left(x^2+y^2\right)\right]\le\dfrac{1}{2}\cdot\left(\dfrac{2xy+x^2+y^2}{2}\right)^2=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\left(x+y\right)^4}{4}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2^4}{4}=2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)

C108: Thấy cái này hay hay nên chăm hơn chứ lười quá :v

Đặt \(xy=t\Rightarrow x^2+y^2=4-2t\).

Ta cần chứng minh \(t\left(4-2t\right)\le2\). (*)

Thật vậy \((*)\Leftrightarrow 2(t-2)^2\geq 0\) (luôn đúng).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(xy=2\) tức x = y =1

Copy nhầm chỗ rồi em ơi :)))

Chưa like anh ạ=))

de nhu the ai nhin dc :))))

C96 trùng C94 rồi

Mình không để ý, cảm ơn bạn nhiều ^^

[Toán.C93_17.2.2021] rất hay và khó! Đó là câu em gửi anh trên Facebook hồi sáng. Và em cũng là người đầu công khai đưa ra lời giải bài này.

Xem chi tiết tại tthnew's blog: 1721

Cho mình hỏi bạn tên gì vậy, thấy bạn ở đâu cũng có, hình như hồi xưa cũng ở bên olm.

Lời giải:

Đặt $\sqrt{4-a^2}=x; \sqrt{4-b^2}=y; \sqrt{4-c^2}=z$ thì bài toán trở thành:

Cho $x,y,z\in [0;2]$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=6$. Tìm min: $P=x+y+z$

-------------------

Ta có: $P^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)=6+2(xy+yz+xz)$

Vì $x,y,z\in [0;2]$ nên:

$(x-2)(y-2)(z-2)\leq 0\Leftrightarrow 2(xy+yz+xz)\geq xyz+4(x+y+z)-8\geq 4(x+y+z)-8=4P-8$

Vậy $P^2=6+2(xy+yz+xz)\geq 6+4P-8$

$\Leftrightarrow P^2-4P+2\geq 0$

$\Leftrightarrow (P-2)^2\geq 2\Rightarrow P\geq 2+\sqrt{2}$.

Vậy $P_{\min}=2+\sqrt{2}$.

Dấu "=" xảy ra khi $(a,b,c)=(0,2,\sqrt{2})$ và hoán vị

 Trong 4 mùa, mùa xuân là mùa khởi đầu của một năm mới với mọi sụ hi vọng về những điều tốt hơn. Mùa xuân là mùa đẹp nhất. Lúc ấy, vạn hoa đua nhau nở, cây cối đâm chồi nảy lộc, chim hót líu lo, người người chuẩn bị sắm sửa cho năm mới. Mùa xuân, nó cũng giống tuổi trẻ của chúng ta vậy. Tuổi trẻ là tuổi của hi vọng, tuổi của khát khao, tuổi của những điều đẹp đẽ. Tuổi trẻ cũng là nơi khởi đầu cho một sự nghiệp to lớn, đầy thành công trong tương lai. Tuổi trẻ, đó chính là giai đoạn con người ta mang trong mình tất thảy sức mạnh, tất thảy vẻ đẹp, từ thể xác đến tinh thần và cả trí tuệ nữa. Và có lẽ bởi vậy nên trong chính những năm tháng ấy, con người luôn cháy hết mình với đam mê, với những ước mơ, khát vọng và hoài bão. Ở cái tuổi ấy, người ta tự đặt ra cho mình mục tiêu, lí tưởng để cống hiến, để biến nó thành sự thật dù biết rằng phía trước họ có thật nhiều khó khăn, thử thách và cả những thất bại nữa. Và có thể rằng, trong những năm tháng thanh xuân ấy họ sẽ vấp ngã, nhưng tuổi trẻ luôn cho phép người ta có quyền được thất bại, thất bại để đứng lên và để trưởng thành hơn. Để rồi, đến một lúc nào đó, khi đã đi qua quãng thời gian quý báu ấy, người ta nhìn lại và thầm cảm ơn, thầm trân trọng nó vì đã cho ta vỡ lẽ bao điều và trưởng thành hơn từ vấp ngã. Tuy nhiên, thật đáng buồn, đáng trách biết bao khi có những thanh niên đang lãng phí, thiêu rụi tuổi trẻ của mình vào những thú vui vô bổ, vào những tệ nạn xã hội. Và như vậy, tuổi trẻ là quãng thời gian tươi đẹp và quý báu nhất trong cuộc đời mỗi người. Vì vậy, chúng ta cần trân trọng và phát huy hết giá trị của nó, cần không ngừng cố gắng rèn luyện, cống hiến để những năm tháng thanh xuân trở thành quãng thời gian tuyệt diệu nhất trong cuộc đời của mình.

   Trong bốn mùa xuân,hạ,thu,đông thì mùa xuân là mùa sinh sôi của vạn vật,là khởi đầu mới cho một năm đầy ắp niềm vui,hạnh phúc,vạn vật như được khoác lên mình một tà áo mới,mọi vật xung quanh ta đều chở nên muôn màu,muôn vẻ.Tuổi trẻ cũng tựa như mùa xuân của đất nước vậy cứ trải qua một năm là lại chững chạc hơn,biết suy nghĩ cho bản thân nhiều hơn,tuổi trẻ cũng đang là giai đoạn đẹp  nhất của cuộc đời,tuổi trẻ còn là sự khởi đầu của những thành công trong tương lai,tuổi trẻ là cái lứu tuổi mà chúng ta cần chọn cho bản thân một mục tiêu,một lí tưởng riêng để bước tiếp trên con đường đến với tương lai rộng mở vẫn đang chào đón.Những người đang ở cái lứu tuổi tươi đẹp này ai cũng có trong mình một đam mê như ngọn lửu vẫn đang bùng cháy vậy.Dù có khó khăn hoài bão nhừ thế nào thì tuổi trẻ vẫn đang tiến bước để có thể trải qua những năm tháng thanh xuân ý nghĩa nhất trong cuộc đời.

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\sum \frac{c^{2013}}{a+b-c}=\sum \frac{c^{4024}}{ac^{2011}+bc^{2011}-c^{2012}}\geq \frac{(\sum a^{2012})^2}{a^{2011}(b+c)+b^{2011}(c+a)+c^{2011}(b+a)-\sum a^{2012}}\)

Ta sẽ CM:

\(a^{2011}(b+c)+b^{2011}(c+a)+c^{2011}(b+a)-\sum a^{2012}\leq \sum a^{2012}\)

\(\Leftrightarrow a^{2011}(a-b)+a^{2011}(a-c)+b^{2011}(b-a)+b^{2011}(b-c)+c^{2011}(c-a)+c^{2011}(c-b)\geq 0\)

\(\Leftrightarrow \sum (a-b)(a^{2011}-b^{2011})\geq 0\Leftrightarrow \sum (a-b)^2(a^{2010}+...+b^{2010})\geq 0\) (luôn đúng)

Do đó: \(\sum \frac{c^{2013}}{a+b-c}\geq \frac{(\sum a^{2012})^2}{\sum a^{2012}}=\sum a^{2012}\)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$. Tức là $ABC$ là tam giác đều.

Akai Haruma Giáo viên cho em hỏi kí hiệu \(\sum\) là gì ạ và kí hiệu này được học ở lớp mấy ạ?

Toán C89 :

Ta có : \(x^3+y^3+6xy\le8\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3-3xy.\left(x+y\right)-8+6xy\le0\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(x+y\right)^3-8\right]-3xy.\left(x+y-2\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-2\right)\left[\left(x+y\right)^2+2.\left(x+y\right)+4\right]-3.xy.\left(x+y-2\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-2\right)\left[\left(x+y\right)^2+2.\left(x+y\right)+4-3xy\right]\le0\) (*)

Ta thấy : \(\left(x+y\right)^2+2.\left(x+y\right)+4-3xy\)

\(=x^2+y^2-xy+2.\left(x+y\right)+4\)

\(=\left(x-\dfrac{y}{2}\right)^2+\dfrac{3y^2}{4}+2.\left(x+y\right)+4>0\forall x,y>0\)

Do đó từ (*) suy ra : \(x+y-2\le0\Leftrightarrow x+y\le2\)

Ta có : \(Q=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\ge\dfrac{4}{2}=2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)

Vậy Min \(Q=2\) khi \(x=y=1\)

Toán C88 :

Áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số dương lần lượt ta có được :

\(\left(a+1\right)+4\ge4\sqrt{a+1}\)

\(\left(b+1\right)+4\ge4\sqrt{b+1}\)

\(\left(c+1\right)+4\ge4\sqrt{c+1}\)

Do đó : \(a+b+c+15\ge4.\left(\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}\right)=4.6=24\)

\(\Leftrightarrow a+b+c\ge9\)

Ta có : \(a^2+ab+b^2=\dfrac{4.\left(a^2+ab+b^2\right)}{4}=\dfrac{\left(a-b\right)^2+3.\left(a+b\right)^2}{4}\ge\dfrac{3.\left(a+b\right)^2}{4}>0\)

\(\Rightarrow\sqrt{a^2+ab+b^2}\ge\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\left(a+b\right)\)

Chứng minh tương tự ta có :

\(\sqrt{b^2+bc+c^2}\ge\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(b+c\right)\)

\(\sqrt{c^2+ca+a^2}\ge\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\left(c+a\right)\)

Do đó : \(P\ge\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot2\cdot\left(a+b+c\right)=\sqrt{3}.\left(a+b+c\right)\ge9\sqrt{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=3\)

Vậy Min \(P=9\sqrt{3}\) khi \(a=b=c=3\)

Đề này rất mới và hay ạ :))

Mình chỉ ghi ý thôi ạ

a) Vấn đề được đề cập trong đoạn trích mà con người hiện đại ngày nay đang phải đối mặt đó chính là: Con người bị ngập trong vô vàn thông tin nhưng có những thông tin lại chẳng hoàn toàn đúng sự thật hay những thông tin không liên quan

b) Thuận lợi:

-Với một lượng lớn thông tin được đăng trên rất nhiều trang báo, chúng ta có thể dễ dàng bắt kịp được với xu hướng, tìm kiếm được được những thông tin thực sự hữu ích

-Những thông tin hữu ích, chính xác giúp chúng ta thay đổi tư duy, mở rộng tầm nhìn, đem lại nhiều khía cạnh khác nhau về cuộc sống,...

-Chúng giúp ta cải thiện các kĩ năng: kĩ năng sống, nấu ăn, làm đẹp,....

-Nó còn giúp chúng ta giải stress, giải trí...

Khó khăn:

-Với lượng thông tin quá khổng lồ, những nhà kiểm duyệt lại không quá chú ý đến điều này dẫn đến việc thông tin sai lệch tràn lan để lại những mối nguy hiểm khôn lường

+Chúng ta tốn rất nhiều thời gian vào những thông tin sai lệch, không liên quan

+Những thông tin sai lệch dẫn chúng ta tới những suy nghĩ và hành động sai lệch

c) -Chúng ta cần khả năng hiểu được thông tin, biết được sự khác biệt giữa cái quan trọng và cái không quan trọng vì:

+ Khi tìm đến khối thông tin khổng lồ kia, điều mà chúng ta thực sự muốn là gì? Điều mà chúng ta thực sự cần là gì? Đó chính là câu trả lời cho câu hỏi trên

+Nếu không hiểu được thông tin thì chúng ta tìm kiếm nó làm gì? Nếu lãng phí thời gian vào những thông tin không hữu ích với chúng ta khi không cần thiết thì chúng ta được gì? Thật là chẳng được gì cả, thời gian thì có hạn mà chúng ta đang lãng phí nó. Thật là tai hại hơn cả nếu những thông tin ấy lại sai lệch nữa. Chính vì thế hiểu được thông tin nào đúng, nào sai để tránh những thông tin sai lệch lại cũng rất quan trọng. 

-Khả năng tổng hợp thông tin thành một bức tranh lớn về thế giới

+Những thông tin ta tìm hiểu và đọc chỉ là những mảnh nhỏ, nhiều lúc chúng ta tìm kiếm từng mảnh nhỏ ấy nhưng hiệu quả đem lại thực sự chưa cao. Nếu vậy, Chúng ta chưa có một cái nhìn thực sự sâu sắc và toàn cảnh về vấn đề

+Chính vì thế chúng ta phải biết ghép những mảnh ghép nhỏ có liên quan thành một mảnh lớn hơn và những mảnh lớn hơn lại với nhau để thành mảnh lơn hơn nữa - Tổng hợp thông tin thành một bức trang lớn về thế giới.

+Từ đó chính ta sẽ có những cái nhìn sâu hơn, biết liên kết những vấn đề lại với nhau, đưa ra những quyết định chính xác hơn,...

d) Bản thân em không đồng tính với ý kiến trên

-Em rất tán thành khi thầy cô cung cấp cho chúng ta thông tin, bởi lẽ thầy cô là người từng trải cũng có khả năng hiểu được thông tin tốt hơn chúng ta nên thông tin đem lại cũng sẽ chính xác hơn nhiều phần

-Nhưng nếu nói đó là điều cuối cùng người thầy đem lại cho học sinh thì lại sai, sai hoàn toàn. Thầy cô là người chèo lái chúng ta trên con thuyền tri thức nhưng không phải chỉ nên dừng lại ở mức chỉ đem thông tin thông thường. Thầy cô phải biết hướng dẫn học sinh nâng cao kĩ năng hiểu được thông tin, biết phân biệt thông tin, có khả năng tổng hợp thông tin, cùng niềm đam mê tìm hiểu thì điều đó mới thật sự quan trọng

Đánh hơi lâu ạ :"(

đúng là em chị, giỏi quá :)))