a) Điều kiện \(x-4>0\Leftrightarrow x>4\)

Đặt \(f\left(x\right)=lg\left(x-4\right),g\left(x\right)=5-x\)

Phương trình đã cho trở thành

\(f\left(x\right)=g\left(x\right)\)

Ta có \(f\left(x\right)\) đồng biến trên \(\left(4;+\infty\right)\) và \(g\left(x\right)\) nghịch biến trên R

Hơn nữa \(f\left(5\right)=g\left(5\right)\) do đó \(x=5\) là nghiệm duy nhất của phương trình

b) Dễ thấy \(x=\sqrt{2}\) là nghiệm của phương trình.

Nếu \(x>\sqrt{2}\) thì \(x^x>\left(\sqrt{2}\right)^x>\left(\sqrt{2}\right)^{\sqrt{2}}\)

Tương tự  \(x<\sqrt{2}\) . Vậy \(x=\sqrt{2}\) là nghiệm duy nhất

Nếu $x+2>2x+1$ thì $2^{x+2}>2^{2x+1},3^{x+2}>3^{2x+1}$ nên VT>VP.

Nếu $x+2<2x+1$ thì $2^{x+2}<2^{2x+1},3^{x+2}<3^{2x+1}$ nên VT<VP.

Vậy x+2=2x+1 hay x=1

Phương trình đã cho tương đương với phương trình 

\(3^{x+2}-3^{x+2}=3^{2x+1}-2^{2x+1}\)

Dễ thấy \(x=1\) là nghiệm của phương trình

Nếu \(x>1\) thì \(x+2<2x+1\)

Do đó

\(3^{x+2}<3^{2x+1};3^{2x+1}>2^{x+2}\)

Hay vế trái <0< Vế phải, phương trình vô nghiệm

Tương tự, nếu x<1 thì phương trình cũng vô nghiệm

Vạy x=1 là nghiệm duy nhất của phương trình

Điều kiện x>0. Nhận thấy x=2 là nghiệm. 

Nếu x>2 thì

\(\frac{x}{2}>\frac{x+2}{4}>1\); \(\frac{x+1}{3}>\frac{x+3}{5}>1\)

Suy ra 

\(\log_2\frac{x}{2}>\log_2\frac{x+2}{4}>\log_4\frac{x+2}{4}\)hay :\(\log_2x>\log_2\left(x+2\right)\)

\(\log_3\frac{x+1}{3}>\log_3\frac{x+3}{5}>\log_5\frac{x+3}{5}\) hay \(\log_3\left(x+1\right)>\log_5\left(x+3\right)\)

Suy ra vế trái < vế phải, phương trình vô nghiệm.

Đáp số x=2

Điều kiện x>0. Nhận thấy x=2 là nghiệm

- Nếu x>2 thì : \(\log_2x>\log_22=1;\log_5\left(2x+1\right)>\log_5\left(2.2x+1\right)=1\)

Suy ra phương trình vô nghiệm.

Tương tự khi 0<x<2

Đáp số x=2

Điều kiện x>0; \(x\ne0\). Nếu 0<x<1 thì x+1>1, do đó

\(\log_x\left(x+1\right)<\log_x1\)=0<lg1,5

Do đó phương trình vô nghiệm

Tương tự khi x>1 thì

Đáp số phương trình vô nghiệm

Điều kiện \(x\ne0\) nhận thấy 

\(\frac{1-2x}{x^2}-\frac{1-x^2}{x^2}=\frac{x^2-2x}{x^2}=1-\frac{2}{x}=2\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{x}\right)\)

Do đó phương trình tương đương với 

\(2^{\frac{1-x^2}{x^2}}-2^{\frac{1-2x}{x^2}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1-2x}{x^2}-\frac{1-x^2}{x^2}\right)\)

\(\Leftrightarrow2^{\frac{1-x^2}{x^2}}+\frac{1}{2}.\frac{1-x^2}{x^2}=2^{\frac{1-2x}{x^2}}+\frac{1}{2}.\frac{1-2x}{x^2}\)

Mặt khác \(f\left(t\right)=2^t+\frac{t}{2}\) là hàm đồng biến trên R

Do đó từ : \(f\left(\frac{1-x^2}{x^2}\right)=f\left(\frac{1-2x}{x^2}\right)\)

Suy ra 

\(\frac{1-x^2}{x^2}=\frac{1-2x}{x^2}\)

Từ đó dễ dàng tìm ra được x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình

Phương trình tương đương với :

\(5^{x-2}-x-1=5^{x^2-x-1}+x^2-x\)

\(\Leftrightarrow5^{x-1}-5\left(x-1\right)=5^{x^2-x}+5\left(x^2-x\right)\)

Xét \(f\left(t\right)=5^t+5t\left(t\in R\right)\)

Dễ thấy \(f\left(t\right)\) luôn đồng biến.

Mặt khác :

\(f\left(x-1\right)=f\left(x^2-x\right)\)

Do đó

\(\left(x-1\right)=\left(x^2-x\right)\)

Từ đó dễ dàng tìm được x=1 là nghiệm duy nhất của phương trình.

Viết phương trình về dạng

\(\frac{2^x}{3^x+4^x}-\frac{4^x}{9^x+16^x}=\frac{-5}{2x}\) hay \(\frac{2^x}{3^x+4^x}+\frac{5}{x}=\frac{2^{2x}}{3^{2x}+4^{2x}}+\frac{5}{2x}\)

Xét hàm số \(f\left(t\right)=\frac{2^t}{3^t+4^t}+\frac{5}{t}\) luôn đồng biến

Đáp số : Phương trình vô nghiệm

Điều kiện \(x\ge2\). Biến đổi phương trình về \(2^{x-1}=\log_22x\)

Đặt \(y=2^{x-1},y\ge2\) thì \(x=1+\log_2y=\log_22y\)

Từ đó ta có hệ :

\(\begin{cases}y=\log_22x\\x=\log_22y\\x,y\ge2\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}2^y=2x\\2^x=2y\\x,y\ge2\end{cases}\)

Từ đó suy ra \(y.2^y=x.2^x\)

Xét hàm số \(f\left(t\right)=t.2^t,\left(t\ge2\right)\) đồng biến

Suy ra x=y

Đáp số x=1. x=2

Điều kiện \(x^2-1>0\Leftrightarrow\left|x\right|>1\)

Bất phương trình tương đương với :

\(\log_3\log_{\frac{1}{2}}\left(x^2-1\right)<\log_3\Leftrightarrow0<\log_{\frac{1}{2}}\left(x^2-1\right)<3\)

\(\Leftrightarrow\log_{\frac{1}{2}}1<\log_{\frac{1}{2}}\left(x^2-1\right)<\log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{8}\Leftrightarrow1>x^2-1>\frac{1}{8}\)

\(\Leftrightarrow2>x^2>\frac{9}{8}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2}>\left|x\right|>\frac{3}{2\sqrt{2}}\) (Thỏa mãn)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(D=\left(-\sqrt{2};\frac{-3}{2\sqrt{2}}\right)\cup\left(\frac{3}{2\sqrt{2}};\sqrt{2}\right)\)