2a)với a,b,c là các số thực ta có 

\(a^2-ab+b^2=\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2\ge\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{a^2-ab+b^2}\ge\sqrt{\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2}=\frac{1}{2}\left|a+b\right|\)

tương tự \(\sqrt{b^2-bc+c^2}\ge\frac{1}{2}\left|b+c\right|\)

tương tự \(\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge\frac{1}{2}\left|a+c\right|\)

cộng từng vế mỗi BĐT ta được \(\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{2}=a+b+c\)

dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

Bài 2. a/ \(1\le a,b,c\le3\)  \(\Rightarrow\left(a-1\right).\left(a-3\right)\le0\) , \(\left(b-1\right)\left(b-3\right)\le0\), \(\left(c-1\right).\left(c-3\right)\le0\)

Cộng theo vế : \(a^2+b^2+c^2\le4a+4b+4c-9\)

\(\Rightarrow a+b+c\ge\frac{a^2+b^2+c^2+9}{4}=7\)

Vậy min E = 7 tại chẳng hạn, x = y = 3, z = 1

b/ Ta có : \(x+2y+z=\left(x+y\right)+\left(y+z\right)\ge2\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\) 

Tương tự : \(y+2z+x\ge2\sqrt{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\) , \(z+2y+x\ge2\sqrt{\left(z+y\right)\left(y+x\right)}\)

Nhân theo vế : \(\left(x+2y+z\right)\left(y+2z+x\right)\left(z+2y+x\right)\ge8\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\) hay

\(\left(x+2y+z\right)\left(y+2z+x\right)\left(z+2y+x\right)\ge64\)

chẵng biết

Ta có: \(\tan\alpha.\cot\alpha=1\Rightarrow\tan\alpha=\frac{1}{\cot\alpha}\)

Đặt \(\cot\alpha=t\)thì \(\tan\alpha=\frac{1}{t}\)

Khi đó \(B=\frac{1}{1+\frac{1}{t}}+\frac{1}{1+t}=\frac{t}{t+1}+\frac{1}{1+t}=1\)

1+tan a=1+sina/cosa = sina+cosa/cosa

1+cota=sina+cosa/sina

=>B=1.

\(P^2=\left(x\sqrt{8-x}+\left(5-x\right)\sqrt{x+3}\right)^2\)

\(=x^2\left(8-x\right)+\left(5-x\right)^2\left(x+3\right)+2x\left(5-x\right)\sqrt{8-x}\sqrt{x+3}\)

\(=x^2-5x+75+2x\left(5-x\right)\sqrt{8-x}\sqrt{x+3}\)

Có \(\sqrt{8-x}\sqrt{x+3}\le\frac{8-x+x+3}{2}=\frac{11}{2}\)

\(0\le x\le5\Rightarrow x\left(5-x\right)\ge0\)

Suy ra \(P^2\le x^2-5x+75+2x\left(5-x\right).\frac{11}{2}\)

                   \(=x^2-5x+75+11x\left(5-x\right)\)

                  \(=10x\left(5-x\right)+75\)

                    \(\le10.\left(\frac{x+5-x}{2}\right)^2+75=\frac{275}{2}\)

Suy ra \(P\le\sqrt{\frac{275}{2}}=\frac{5\sqrt{22}}{2}\)

Dấu \(=\)xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}8-x=x+3\\x=5-x\end{cases}}\Leftrightarrow x=\frac{5}{2}\). 

Vậy \(maxP=\frac{5\sqrt{22}}{2}\).

\(P^2=x\left(x-5\right)+75+2x\left(5-x\right)\sqrt{8-x}\sqrt{x+3}\)

\(=x\left(5-x\right)\left(2\sqrt{8-x}\sqrt{x+3}-1\right)+75\)

Có \(0\le x\le5\)nên \(\sqrt{8-x}\ge\sqrt{8-5}>1,\sqrt{x+3}\ge\sqrt{0+3}>1\)

suy ra \(\sqrt{8-x}\sqrt{x+3}>1\Rightarrow2\sqrt{8-x}\sqrt{x+3}-1>0\)

\(0\le x\le5\) nên \(x\left(5-x\right)\ge0\)

Suy ra \(P^2=x\left(5-x\right)\left(2\sqrt{8-x}\sqrt{x+3}-1\right)+75\ge75\)

\(P\ge\sqrt{75}=5\sqrt{3}\).

Dấu \(=\)xảy ra khi \(\orbr{\begin{cases}x=0\\x=5\end{cases}}\).

Vậy \(minP=5\sqrt{3}\).

Bài 2: Ta có: x, y, z không âm và \(x+y+z=\frac{3}{2}\)nên \(0\le x\le\frac{3}{2}\Rightarrow2-x>0\)

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM dạng \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\), ta được: \(x+2xy+4xyz=x+4xy\left(z+\frac{1}{2}\right)\le x+4x.\frac{\left(y+z+\frac{1}{2}\right)^2}{4}=x+x\left(2-x\right)^2\)

Ta cần chứng minh \(x+x\left(2-x\right)^2\le2\Leftrightarrow\left(2-x\right)\left(x-1\right)^2\ge0\)*đúng*

Đẳng thức xảy ra khi \(\left(x,y,z\right)=\left(1,\frac{1}{2},0\right)\)

Bài 3: Áp dụng đánh giá quen thuộc \(4ab\le\left(a+b\right)^2\), ta có: \(2\le\left(x+y\right)^3+4xy\le\left(x+y\right)^3+\left(x+y\right)^2\)

Đặt x + y = t thì ta được: \(t^3+t^2-2\ge0\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left(t^2+2t+2\right)\ge0\Rightarrow t\ge1\)(dễ thấy \(t^2+2t+2>0\forall t\))

\(\Rightarrow x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\ge\frac{1}{2}\)

\(P=3\left(x^4+y^4+x^2y^2\right)-2\left(x^2+y^2\right)+1=3\left[\frac{3}{4}\left(x^2+y^2\right)^2+\frac{1}{4}\left(x^2-y^2\right)^2\right]-2\left(x^2+y^2\right)+1\ge\frac{9}{4}\left(x^2+y^2\right)^2-2\left(x^2+y^2\right)+1\)\(=\frac{9}{4}\left[\left(x^2+y^2\right)^2+\frac{1}{4}\right]-2\left(x^2+y^2\right)+\frac{7}{16}\ge\frac{9}{4}.2\sqrt{\left(x^2+y^2\right)^2.\frac{1}{4}}-2\left(x^2+y^2\right)+\frac{7}{16}=\frac{9}{4}\left(x^2+y^2\right)-2\left(x^2+y^2\right)+\frac{7}{16}=\frac{1}{4}\left(x^2+y^2\right)+\frac{7}{16}\ge\frac{1}{8}+\frac{7}{16}=\frac{9}{16}\)Đẳng thức xảy ra khi x = y = ¹/₂

1/ Gọi O là giao hai đường chéo AC và BD 

=> OA=OC; OB=OD (trong HCN hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Ta có AC=BD (trong HCN hai đường chéo băng nhau)

=> OA=OC=OB=OD => 4 điểm A;B;C;D cùng nằm trên một đường tròn tâm O là giao của hai đường chéo HCN

2/

a/

Ta có tam giác ABC vuông tại A => BC là cạnh huyền, gọi O là trung điểm cạnh huyền => AO là trung tuyến thuộc cạnh huyền

=> OA=OB=OC=BC/2 (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền thì bằng nửa cạnh huyền) => O là tâm đường tròn ngoại tiếp tg ABC

b/

Ta có tg ABC có BC là đường kính đường tròn ngoại tiếp tg ABC => OA=OB=OC

+ Xét tg AOB có OA=OB => tg AOB cân tạo O => ^BAO = ^AOB (1)

+ Xét tg AOC có OA=OC => tg AOC cân tại O => ^CAO = ^AOC (2)

Xét tg ABC có 

^ABC+^ABO+^ACO=180 (tổng các góc trong của 1 tg =180 độ)

=> (^BAO+^CAO)+^ABO+^ACO=180 (3)

Từ (1) (2) và (3) => ^ABC=^BAO+^CAO=^ABO+^ACO=180:2=90

=> tg ABC vuông tại A

Đề bn viết thiếu kìa, mk sửa lại nha:

Tìm chữ số x và y sao cho:   \(\overline{xx}^y=\overline{xyyx}\)

Bài giải:

Tìm y: Ta thấy \(y< 4\)vì nếu \(y\ge4\)thì \(\overline{xx}^y\ge11^4>10^4=10000>\overline{xyyx}\)

Mặt khác: \(y>1\)vì nếu \(y\le1\)thì:

                 \(\overline{xx}^y\le xx^1=\overline{xx}< \overline{xyyx}\)

Mà \(y\in N\)nên \(y\in\left\{2;3\right\}\)

Xét : \(y=2\Rightarrow\overline{xx}^2\)cho chữ số tận cùng là \(1;4;5;6;9\)

+ Nếu : \(x=1\)thì \(\overline{xx}^y=11^2=121< 1221\)

\(\Rightarrow\)Loại \(x=1\)

+ Nếu : \(x=4\)thì \(\overline{xx^y}=44^2< 50^2=2500< 4224\)

\(\Rightarrow\)Loại \(x=4\)

+ Nếu : \(x=5\)thì \(\overline{xx^y}=55^2< 60^2=3600< 5225\)

\(\Rightarrow\)Loại \(x=5\)

+ Nếu : \(x=6\)thì \(\overline{xx^y}=66^2< 70^2=4900< 6226\)

\(\Rightarrow\)Loại \(x=6\)

+ Nếu : \(x=9\)thì \(\overline{xx^y}=99^2=9801\ne9229\)

\(\Rightarrow\)Loại \(x=9\)

             \(\Rightarrow\)Loại \(y=2\)

Xét : \(y=3\Rightarrow\overline{xx}^3=\overline{x33x}\)

Ta thấy : \(x< 2\)vì nếu \(x\ge2\)thì:

\(\overline{xx^3}\ge22^3=10648>\overline{x33x}\)

Mặt khác : \(x>0\)mà \(x\in N\)nên \(x=1\)

Ta có: \(11^3=1331\)( thỏa mãn )

Tóm lại : Với \(x=1\)và \(y=3\)thì ta có : \(\overline{xx}^y=\overline{xyyx}\)thỏa mãn đề bài đã ra

Rất vui vì giúp đc bạn !!! Bạn tham khảo nha ^_^

\(A=\left(\frac{1}{x+2\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x}+2}\right):\frac{1-\sqrt{x}}{x+4\sqrt{x}+4}\)

\(=\left(\frac{1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}-\frac{1\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}\right).\frac{\left(\sqrt{x}+2\right)^2}{1-\sqrt{x}}\)

\(=\frac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}.\frac{\left(\sqrt{x}+2\right)}{1-\sqrt{x}}\)

=\(\frac{\left(1-\sqrt{x}\right).\left(\sqrt{x}+2\right)^2}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right).\left(1-\sqrt{x}\right)}\)

=\(\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}\)

bạn vào phần trả lời trên có chữ M viết ngược ý

ĐK: \(x\ge0\). 

Có: \(\sqrt{x}< \sqrt{x}+1< x+\sqrt{x}+1\Rightarrow P=\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}< 1\)

mà từ \(P\ge0\)(vì \(\sqrt{x}\ge0,x+\sqrt{x}+1>0\))

\(P\)nguyên nên suy ra \(P=0\)\(\Rightarrow x=0\).

Vậy với \(x=0\)thì \(P\)nguyên.