Có: \(a^3+b^3=c^3\Leftrightarrow\left(\frac{a}{c}\right)^3+\left(\frac{b}{c}\right)^3=1.\)
Đặt : \(\frac{a}{c}=x;\frac{b}{c}=y\). Suy ra \(0< x< 1;0< y< 1\).
Vì vậy: \(x^{2010}< x^3;y^{2010}< y^3.\)
Từ đó: \(x^{2010}+y^{2010}< x^3+y^3< 1\).
Suy ra: \(\left(\frac{a}{c}\right)^{2010}+\left(\frac{b}{c}\right)^{2010}< 1\)hay: \(a^{2010}+b^{2010}< c^{2010}.\)
 

a^2010+b^2001<c^2010

Ta có:\(\sqrt{a+1}-\sqrt{a-1}=\frac{\left(\sqrt{a+1}-\sqrt{a-1}\right)\left(\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}\right)}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}}\)

\(=\frac{2}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}}\)(1)

Lại có:\(\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}< 2\sqrt{a}\)

 \(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}\right)^2=2a+2\sqrt{a^2-1}< \left(2\sqrt{a}\right)^2=2a+2a\)\(\Leftrightarrow\sqrt{a^2-1}< \sqrt{a^2}\)\(\Rightarrow\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}< 2\sqrt{a}\)(2)

Từ (1) và (2)\(\Rightarrow\frac{2}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}}>\frac{2}{2\sqrt{a}}=\frac{1}{\sqrt{a}}\)\(\Rightarrow\sqrt{a+1}-\sqrt{a-1}>\frac{1}{\sqrt{a}}\)

\(\Rightarrow\sqrt{a+1}>\frac{1}{\sqrt{a}}+\sqrt{a-1}\)

em ko biết làm

hi hi

ĐKXĐ: \(\sqrt{2}\le x\le\sqrt{2}\)

Ta có : \(2x^2-x+\sqrt{2-x^2}=\frac{7}{2}+\sqrt{2-x}\)

\(\Leftrightarrow4x^2-2x+2\sqrt{2-x^2}=7+2\sqrt{2-x}\)

\(\Leftrightarrow-4\left(2-x^2\right)+2\left(2-x\right)+2\sqrt{2-x^2}-2\sqrt{2-x}-3=0\)

Đặt \(a=\sqrt{2-x^2}\) , \(b=\sqrt{2-x}\) , pt trở thành : 

\(-4a^2+2b^2+2a-2b-3=0\)

Tới đây bạn lập ĐENTA rồi tìm mối liên hệ giữa a và b, từ đó suy được pt mới ẩn x.

Vì được dùng máy tính nên bạn tự tìm nghiệm nhé :)

 \(f\left(a,b\right)=a^2+8b^2-6ab+14a-40b+48=3\)

\(\Leftrightarrow f\left(a,b\right)=a^2+8b^2-6ab+14a-40b+45=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+2a\left(7-3b\right)+\left(8b^2-40b+45\right)=0\)

Xét \(\Delta'=\left(7-3b\right)^2-\left(8b^2-40b+45\right)=b^2-2b+4=\left(b-1\right)^2+3>0\)

Vậy PT luôn có hai nghiệm phân biệt.

Vì a,b nguyên nên \(b^2-2b+4=k^2\left(k\in N\right)\)

\(\Leftrightarrow k^2-\left(b-1\right)^2=3\Leftrightarrow\left(k-b+1\right)\left(k+b-1\right)=3\)

Xét các trường hợp với k-b+1 và k+b-1 là các số nguyên được : 

(b;k) = (0;2) ; (0;-2) ; (2;2) ; (2;-2)

Thay lần lượt các giá trị của b vào f(a,b) = 3 để tìm a.

Vậy : (a;b) = (-9;0) ; (-5;0) ; (-3;2) ; (1;2)

Điểm D ???

không biết

Áp dụng BĐT Cauchy , ta có : \(\sqrt{\frac{b+c}{a}.1}\le\frac{\frac{b+c}{a}+1}{2}=\frac{a+b+c}{2a}\)

\(\Rightarrow\sqrt{\frac{a}{b+c}}\ge\frac{2a}{a+b+c}\)(1)

Tương tự : \(\sqrt{\frac{b}{a+c}}\ge\frac{2b}{a+b+c}\)(2) ; \(\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2c}{a+b+c}\) (3)

Cộng (1) , (2) và (3) theo vế ta được  \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge2\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b+c\\b=c+a\\c=a+b\end{cases}\Leftrightarrow}a+b+c=0\) (vô lí vì trái với giả thiết bài ra )
Vậy ta có điều phải chứng minh.

lằng nhằng quá

ai thay hay thi k cho mk nha

Từ giả thiết : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\Rightarrow xy+yz+zx=xyz\)

Ta có : \(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\ge\sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\)

Vì hai vế luôn dương nên ta bình phương hai vế được : 

\(\left(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\right)^2\ge\left(\sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2\)

Xét \(\left(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\right)^2\)

\(=\left(x+y+z\right)+\left(xy+yz+zx\right)+2\left(\sqrt{x+yz}.\sqrt{y+zx}+\sqrt{y+zx}.\sqrt{z+xy}+\sqrt{z+xy}.\sqrt{x+yz}\right)\)

Xét \(\left(\sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2\)

\(=xyz+\left(x+y+z\right)+2\left(x\sqrt{yz}+y\sqrt{xz}+z\sqrt{xy}+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)\)

Suy ra : \(\sqrt{x+yz}.\sqrt{y+zx}+\sqrt{y+zx}.\sqrt{z+xy}+\sqrt{z+xy}.\sqrt{x+yz}\ge\)

\(\ge x\sqrt{yz}+y\sqrt{xz}+z\sqrt{xy}+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\) (*)

Mà theo bất đẳng thức Bunhiacopxki , ta có : 

\(\sqrt{\left(x+yz\right)}.\sqrt{y+zx}\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz.zx}=\sqrt{xy}+z\sqrt{xy}\) (1)

\(\sqrt{y+zx}.\sqrt{z+xy}\ge\sqrt{yz}+x\sqrt{yz}\)(2)

\(\sqrt{z+xy}.\sqrt{x+yz}\ge\sqrt{xz}+y\sqrt{xz}\)(3)

Cộng (1) , (2) và (3) theo vế ta được (*) đúng

Vậy bđt ban đầu được chứng minh.

chịu thua

37

100

a) 37

b) 100