Giải hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x^3+y^2=2\\x^2+xy+y^2=y\end{matrix}\right.\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng BĐT AM-GM và Cauchy-Schwarz ta có:
\(VT=\dfrac{a^2}{a+abc}+\dfrac{b^2}{b+abc}+\dfrac{c^2}{c+abc}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+3abc}\)
\(\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+\dfrac{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{3}}=\dfrac{3\left(a+b+c\right)}{3+ab+bc+ca}\)
Tức cần chứng minh \(\dfrac{3\left(a+b+c\right)}{3+ab+bc+ca}\ge1\)
\(\Leftrightarrow3\left(a+b+c\right)\ge3+ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow9\left(a+b+c\right)^2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(3\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ca\right)^2\)
Đặt \(a^2+b^2+c^2=k\left(ab+bc+ca\right)\left(k\ge1\right)\) và ta cần cm:
\(9(k+2)k\geq(3k+1)^2\)\(\Leftrightarrow12k-1\ge9\) *đúng với \(k\ge 1\) :|*
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Từng sau nếu tag bạn tag tên dưới câu trả lời nhé, tag thế này không nhận được thông báo đâu .
Bài này tốn sức quá, đau đầu
Lời giải:
Sử dụng \(\sum\) biểu hiện tổng các hoán vị nhé.
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\text{VT}=\frac{a^2}{a\sqrt{(b+2)(c+2)}}+\frac{b^2}{b\sqrt{(c+2)(a+2)}}+\frac{c^2}{c\sqrt{(a+2)(b+2)}}\geq \frac{(a+b+c)^2}{\sum a\sqrt{(b+2)(c+2)}}\)
Tiếp tục Cauchy-Schwarz:
\((\sum a\sqrt{(b+2)(c+2)})^2\leq (ab+2a+bc+2b+ac+2c)(ac+2a+ba+2b+bc+2c)\)
\(\Leftrightarrow \sum a\sqrt{(b+2)(c+2)}\leq (ab+bc+ac+2a+2b+2c)\)
\(\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ac+2(a+b+c)}\)
Ta sẽ đi chứng minh \(\frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ac+2(a+b+c)}\geq 1\Leftrightarrow (a+b+c)^2\geq ab+bc+ac+2(a+b+c)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac\geq 2(a+b+c)\)
\(\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)+(a+b+c)^2\geq 4(a+b+c)\)
\(\Leftrightarrow 4-abc+(a+b+c)^2\geq 4(a+b+c)\Leftrightarrow (a+b+c-2)^2\geq abc\)
\(\Leftrightarrow a+b+c\geq \sqrt{abc}+2\)
Do \(a^2+b^2+c^2+abc=4\Rightarrow \)
tồn tại $x,y,z>0$ sao cho:\((a,b,c)=\left ( 2\sqrt{\frac{xy}{(z+x)(z+y)}};2\sqrt{\frac{yz}{(x+y)(x+z)}};2\sqrt{\frac{xz}{(y+x)(y+z)}} \right )\)
Khi đó , thực hiện vài bước rút gọn, BĐT cần chứng minh chuyển về:
\(\sum \sqrt{xy(x+y)}\geq \sqrt{2xyz}+\sqrt{(x+y)(y+z)(x+z)}\)
Bình phương hai vế:
\(\Leftrightarrow \sum xy(x+y)+2\sqrt{xy^2z(x+y)(y+z)}\geq 2xyz+\prod (x+y)+2\sqrt{2xyz(x+y)(y+z)(x+z)}\)
\(\Leftrightarrow \sum\sqrt{xy^2z(x+y)(y+z)}\geq 2xyz+\sqrt{2xyz(x+y)(y+z)(x+z)}\)
\(\Leftrightarrow \sum \sqrt{y(y+x)(y+z)}\geq 2\sqrt{xyz}+\sqrt{2(x+y)(y+z)(x+z)}\) \((\star)\)
Đặt biểu thức vế trái là $A$
\(A^2=\sum y(y+x)(y+z)+2\sum\sqrt{[y(y+x)(y+z)][x(x+y)(x+z)]}\)
\(A^2=\sum x^3+\sum xy(x+y)+3xyz+2\sum \sqrt{[(x^2(x+y+z)+xyz][y^2(x+y+z)+xyz]}\)
Áp dụng BĐT C-S : \([x^2(x+y+z)+xyz][y^2(x+y+z)+xyz]\geq [xy(x+y+z)+xyz]^2\)
\(\Rightarrow A^2\geq \sum x^3+\sum xy(x+y)+3xyz+2\sum [xy(x+y+z)+xyz]\)
\(\Leftrightarrow A^2\geq \sum x^3+3\sum xy(x+y)+15xyz\)
Theo BĐT Schur: \(\sum x^3+3xyz\geq \sum xy(x+y)\)
\(\Rightarrow A^2\geq 4\sum xy(x+y)+12xyz=4[\sum xy(x+y)+3xyz]=4(x+y+z)(xy+yz+xz)\)
\(\Leftrightarrow A\geq 2\sqrt{(x+y+z)(xy+yz+xz)}\)
Ta cần chứng minh \(2\sqrt{(x+y+z)(xy+yz+xz)}\geq 2\sqrt{xyz}+\sqrt{2(x+y)(y+z)(x+z)}\) (1)
Đặt \(\sqrt{(x+y+z)(xy+yz+xz)}=t\), bằng AM-GM dễ thấy \(t^2\geq 9xyz\)
\((1)\Leftrightarrow 2t\geq 2\sqrt{xyz}+\sqrt{2(t^2-xyz)}\)
\(\Leftrightarrow 4t^2\geq 4xyz+2(t^2-xyz)+4\sqrt{2xyz(t^2-xyz)}\)
\(\Leftrightarrow t^2\geq xyz+2\sqrt{2xyz(t^2-xyz)}\) (2)
Áp dụng AM-GM: \(2\sqrt{xyz(t^2-xyz)}=\sqrt{8xyz(t^2-xyz)}\leq \frac{8xyz+t^2-xyz}{2}=\frac{7}{2}xyz+\frac{t^2}{2}\)
Và \(xyz\leq \frac{t^2}{9}\)
\(\Rightarrow xyz+2\sqrt{2xyz(t^2-xyz)}\leq t^2\)
Do đó (2) đúng kéo theo (1) đúng kéo theo (*) đúng nên ta có đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![Cho lục giác đều ABCDEF có M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, CD, EF. Chứng minh vt IM + vt IN + vt IP = 1/2(vt IA + vt IB + vt IC + vt ID + vt IE + vt IF) với mọi I - Toán học Lớp 10 - Bài tập Toán học Lớp 10 - Giải bài tập Toán học Lớp 10 Cho lục giác đều ABCDEF,M N P lần lượt là trung điểm của AB CD EF,Chứng minh vt IM + vt IN + vt IP = 1/2(vt IA + vt IB + vt IC + vt ID + vt IE + vt IF),Tìm G để vt GA + vt GB + vt GC + vt GD + vt GE + vt GF = vt 0,Toán học Lớp 10,bài tập Toán học Lớp 10,giải bài tập Toán học Lớp 10,Toán học,Lớp 10](http://lazi.vn/uploads/edu/answer/1507118403_503.jpg)
a) Cm: vt IM + vt IN + vt IP=1/2(vt IA + vt IB + vt IC + vt ID + vt IE + vt IF) với mọi I
2vt IM+2vt IN +2vt IP =( vt IA+vt IB )+( vt IC +vt ID )+ (vt IE +vt IF)
<=>2(vt IM + vt IN + vt IP )= vt IA + vt IB + vt IC + vt ID + vt IE + vt IF
<=>vt IM + vt IN + vt IP = 1/2(vt IA + vt IB + vt IC + vt ID + vt IE + vt IF)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng bđt AM-GM có:
\(1+\dfrac{y}{z}\ge2\sqrt{\dfrac{y}{z}};1+\dfrac{z}{x}\ge2\sqrt{\dfrac{z}{x}}\)
Dễ dàng suy ra: \(M\ge\dfrac{x}{y}+2\sqrt{2}\cdot\sqrt[4]{\dfrac{y}{z}}+3\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[6]{\dfrac{z}{x}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\dfrac{x}{y}+4\sqrt[4]{\dfrac{y}{z}}+6\sqrt[6]{\dfrac{z}{x}}\right)+\left(1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\cdot\dfrac{x}{y}+\left(3\sqrt[3]{2}-3\sqrt{2}\right)\cdot\sqrt[6]{\dfrac{z}{x}}\)
Theo AM-GM có: \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\dfrac{x}{y}+4\sqrt[4]{\dfrac{y}{z}}+6\sqrt[6]{\dfrac{z}{x}}\right)\ge\dfrac{1}{2}\cdot11\sqrt[11]{\dfrac{x}{y}\cdot\dfrac{y}{z}\cdot\dfrac{z}{x}}=\dfrac{11}{\sqrt{2}}\) (1)
Theo đề: \(x\ge max\left\{y,z\right\}\) ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{y}\ge1\\\dfrac{z}{x}\le1\end{matrix}\right.\)
=> \(\left\{{}\begin{matrix}\left(1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\cdot\dfrac{x}{y}\ge1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(2\right)\\\left(3\sqrt[3]{2}-3\sqrt{2}\right)\cdot\sqrt[6]{\dfrac{z}{x}}\ge3\sqrt[3]{2}-3\sqrt{2}\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
Cộng theo vế bđt (1), (2) ,(3) có:\(A\ge\dfrac{11}{\sqrt{2}}+1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}+3\sqrt[3]{2}-3\sqrt{2}=1+2\sqrt{2}+3\sqrt[3]{2}\)
Xảy ra khi \(x=y=z\)
Lâu lâu k đi khủng bố tinh thần :3
Ta đi cm \(1+2\sqrt{2}+3\sqrt[3]{2}\) là Min nhé
\(M'(x)=\dfrac{1}{y}+\dfrac{-\dfrac{z}{x^2}}{\sqrt[3]{\left(1+\dfrac{z}{x}\right)^2}}=\dfrac{x^2\sqrt[3]{\left(1+\dfrac{z}{x}\right)^2}-yz}{y\sqrt[3]{\left(1+\dfrac{z}{x}\right)^2}}\ge0\)
Vì vậy ta cần xét 2 trường hợp
*)\(y\ge z;x=y\). Đặt \(\dfrac{y}{z}=t\). Khi đó \(t\ge 1\) và cần cm \(f(t)\ge 0\)
\(f(t)=2\sqrt{1+t}+3\sqrt[3]{1+\dfrac{1}{t}}-2\sqrt{2}-3\sqrt[3]{2}\)
Thật vậy \(f'(t)=\dfrac{1}{\sqrt{1+t}}+\dfrac{-\dfrac{1}{t^2}}{\sqrt[3]{1+\dfrac{1}{t}}}=\dfrac{\sqrt[3]{t^4(t+1)^2}-\sqrt{1+t}}{\sqrt{1+t}\sqrt[3]{t^4(t+1)^2}}>0\)
\(\Rightarrow f(t)\ge f(1)=0\)
*)\(z\ge y ;x=z\). Khi đó \(t\ge 1\) và ta cm \(g(t)\ge 0\)
\(g(t)=t+2\sqrt{1+\dfrac{1}{t}}-1-2\sqrt{2}\)
Và \(g'(t)=1+\dfrac{-\dfrac{1}{t^2}}{\sqrt{1+\dfrac{1}{t}}}=\dfrac{\sqrt{t^3(t+1)}-1}{\sqrt{t^3(t+1)}}>0\)
Tức là \(g(t)\geq g(1)=0\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(ax+by+cz+2\sqrt{\left(xy+yz+zx\right)\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(\le\sqrt{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)}+2\sqrt{\left(xy+yz+zx\right)\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(=\sqrt{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)}+\sqrt{\left(xy+yz+zx\right)\left(ab+bc+ca\right)}+\sqrt{\left(xy+yz+zx\right)\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(\le\sqrt{\left(a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\right)\left(x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\right)}\)
\(=\sqrt{\left(a+b+c\right)^2\left(x+y+z\right)^2}\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(x+y+z\right)=a+b+c\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\((a+b+1)(a+b+c^2)\geq (a+b+c)^2\Rightarrow a+b+1\geq \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c^2}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{a+b+1}\leq \frac{a+b+c^2}{(a+b+c)^2}\)
Tương tự cho các phân thức còn lại, suy ra:
\(1\leq \frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{a+c+1}\leq \frac{a+b+c^2}{(a+b+c)^2}+\frac{b+c+a^2}{(a+b+c)^2}+\frac{c+a+b^2}{(a+b+c)^2}\)
\(\Leftrightarrow 1\leq \frac{2(a+b+c)+a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2}\)
\(\Leftrightarrow (a+b+c)^2\leq 2(a+b+c)+a^2+b^2+c^2\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ac\leq a+b+c\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng bổ đề:
\(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)
Ta có:
\(\dfrac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}+\dfrac{19c^3-b^3}{bc+5c^2}+\dfrac{19a^3-c^3}{ac+5a^2}\)
\(\le\dfrac{20b^3-ab\left(a+b\right)}{ab+5b^2}+\dfrac{20c^3-bc\left(b+c\right)}{bc+5c^2}+\dfrac{20a^3-ca\left(c+a\right)}{ac+5a^2}\)
\(=\dfrac{b\left(4b-a\right)\left(5b+a\right)}{ab+5b^2}+\dfrac{c\left(4c-b\right)\left(5c+b\right)}{bc+5c^2}+\dfrac{a\left(4a-c\right)\left(5a+c\right)}{ac+5a^2}\)
\(=4b-a+4c-b+4a-c=3\left(a+b+c\right)\)
Pls tìm trước khi hỏi $$\dfrac{19b^3-a^3}{ab+5^2}+\dfrac{19c^3-b^3}{bc+5c^2}+\dfrac ...
Cho a,b,c>0.Cm:(19b^3-a^3)/(ab+5b^2)+ - Trường Toán Pitago – Hướng dẫn ...
C/m bất đẳng thức khó cho hsg
C/m bất đẳng thức khó cho hsg | Diễn đàn HOCMAI - Cộng đồng học tập ...
Cho a,b,c >0 và a+b+c=1.CMR (19b^3-a^3)/(ba+5b^2)+(19c^3-b^3)/(cb ...
Câu hỏi của Anh đẹp traiii - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Học tại nhà - Toán - Chứng minh đẳng thức
Bất đẳng thức - K2PI – TOÁN THPT | Chia sẻ Tài liệu, đề thi, hỗ trợ ...
Bất đẳng thức
Đề thi HSG 12 THPT An Lão, Hải Phòng - Diễn Đàn MathScope
giúp tớ bài toán Cm 9 này với! hu hu!? | Yahoo Hỏi & Đáp
VMF,HMF,k2pi, mathscope,... đủ cả
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+y\left(x-1\right)}+\sqrt{x}=y+\sqrt{y}\left(1\right)\\\left(x-1\right)^2+y\sqrt{\left(x-\dfrac{1}{y}\right)^3}=2\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(1\right)\Leftrightarrow\sqrt{x+y\left(x-1\right)}-y-\sqrt{y}+\sqrt{x}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x+xy-y-y^2}{\sqrt{x+y\left(x-1\right)}+y}+\dfrac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-y\right)\left(y+1\right)}{\sqrt{x+y\left(x-1\right)}+y}+\dfrac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(\dfrac{y+1}{\sqrt{x+y\left(x-1\right)}+y}+\dfrac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x=y\)
Thế vô (2) ta được
\(\left(2\right)\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+x\sqrt{\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^3}=2\)
\(\Leftrightarrow x\sqrt{\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^3}=2-\left(x-1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x^6-x^5+x^4-2x^3-x^2-x-1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)^2\left(x^2-x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-x-1=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\\x=y=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
từ pt 1 chuyển vế liên hợp nhé, tối rồi mệt nên ngại làm :>
\begin{cases}x^3+y^2=2 \\ x^2+xy+y^2-y=0 \end{cases} - Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình - Diễn đàn Toán học
Không thì rút 1 ẩn rồi dùng hằng đẳng thức cũng ra.