chứng minh \(1^3+2^3+...+n^3=\left(1+2+...+n\right)^2\)

Chứng minh cái tổng quát:

\(1^3+2^3+3^3+...+n^3=\left(1+2+3+...+n\right)^2\)

Ta dễ thấy:

\(n^3=\dfrac{n^2\left(n+1\right)^2}{4}-\dfrac{n^2\left(n-1\right)^2}{4}=\left(1+2+...+n\right)^2-\left(1+2+...+\left(n-1\right)\right)^2\)

Từ đó ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}1^3=1^2-0^2\\2^3=\left(1+2\right)^2-1^2\\.........................\\n^3=\left(1+2+...+n\right)^2-\left(1+2+....+\left(n-1\right)\right)^2\end{matrix}\right.\)

Cộng tất cả vế theo vế ta được

\(1^3+2^3+...+n^3=\left(1+2+...+n\right)^2\)

Rút gọn P:

\(P=\dfrac{4x}{\sqrt{x}-3}\)

\(\Rightarrow m\left(\sqrt{x}-3\right)P>x+1\)

\(\Leftrightarrow4mx>x+1\)

\(\Leftrightarrow\left(4m-1\right)x>1\)(1)

Xét \(4m-1=0\)

\(\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{4}\)(loại vì (1) sai)

\(\Leftrightarrow x>\dfrac{1}{4m-1}\)

Xét \(\dfrac{1}{4m-1}< 0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x< 0\\x>9\end{matrix}\right.\)(loại)

Xét \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{4m-1}>0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4m-1>0\\\dfrac{1}{4m-1}\le9\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow m\ge\dfrac{5}{18}\)

Có mấy cái dâu tương đương. Copy từ cái hàng trên xuống dưới quên xóa nha. Mà chắc đọc hiểu thôi ah.

\(\left(\sqrt{x^2+5}+x\right)\left(\sqrt{y^2+5}+y\right)=5\)

⇔ \(\left(\sqrt{x^2+5}+x\right)\left(\sqrt{x^2+5}-x\right)\left(\sqrt{y^2+5}+y\right)=5\left(\sqrt{x^2+5}-x\right)\) ⇔ \(5\left(\sqrt{y^2+5}+y\right)=5\left(\sqrt{x^2+5}-x\right)\)

⇔ \(x+y=\sqrt{x^2+5}-\sqrt{y^2+5}\left(1\right)\)

Tương tự : \(x+y=\sqrt{y^2+5}-\sqrt{x^2+5}\left(2\right)\)

Cộng từng vế của ( 1 ; 2 ) , ta có : x + y = 0

Lời giải:

Nếu $x_1,x_2$ là nghiệm của pt trên thì theo định lý Viete ta có:

\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=\frac{2(m-1)}{m}\\ x_1x_2=\frac{m}{m}=1\end{matrix}\right.\)

Nếu \(x_1^2+x_2^2=2\)

\(\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2+2x_1x_2-2x_1x_2=2\)

\(\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=2\Leftrightarrow \frac{4(m-1)^2}{m^2}-2=2\)

\(\Leftrightarrow \frac{4(m-1)^2}{m^2}=4\Rightarrow 4(m-1)^2=4m^2(*)\)

Khi đó:

\(\Delta=4(m-1)^2-4m^2=0\) theo $(*)$

Do đó pt đã cho có nghiệm kép.

\(pt< =>-\left(x^2+x+1\right)\left(x^4-x^3-x^2+x-2\right)=0\)

WhySoEz

Đề đúng không bạn. Nghiệm quá xấu giải ra phải dùng phương pháp tổng quát

Lời giải:

Ta có: \(a^3+b^3+c^3=3abc\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=0\) (đây là công thức biến đổi quen thuộc)

Vì \(a,b,c\) là độ dài cạnh tam giác nên $a+b+c\neq 0$. Do đó:
\(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0\)

\(\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{2}=0\)

Vì \((a-b)^2; (b-c)^2; (c-a)^2\geq 0\)\(\Rightarrow \frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{2}\geq 0\)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b; b=c; c=a\Leftrightarrow a=b=c\) tức là tam giác $ABC$ đều. Do đó \(\angle A=\angle B=\angle C=60^0\)

\(\Rightarrow \sin^2A+\cos ^2B=(\sin 60)^2+(\cos 60)^2=1\)

Ta có đpcm.

Bài này tương đối mệt và oái oăm nếu không sử dụng máy tính.

Ta có:

\((x^2+x+2)^2-(x+1)^2=x^6+1\)

\(\Leftrightarrow (x^2+x+2-x-1)(x^2+x+2+x+1)=x^6+1\)

\(\Leftrightarrow (x^2+1)(x^2+2x+3)=x^6+1\)

\(\Leftrightarrow (x^2+1)(x^2+2x+3)=(x^2)^3+1=(x^2+1)(x^4-x^2+1)\)

\(\Rightarrow (x^2+1)[(x^4-x^2+1)-(x^2+2x+3)]=0\)

\(\Leftrightarrow (x^2+1)(x^4-2x^2-2x-2)=0\)

\(\Rightarrow x^4-2x^2-2x-2=0\) (do \(x^2+1\geq 1>0\) với mọi x)

\(\Leftrightarrow x^4=2x^2+2x+2\)

\(\Leftrightarrow x^4+2x^2a+a^2=(2+2a)x^2+2x+(a^2+2)\)

\(\Leftrightarrow (x^2+a)^2=(2+2a)x^2+2x+(a^2+2)\)

Ta phải tìm $a$ sao cho biểu thức vế phải cũng là một bình phương của một đa thức, tức là \((2+2a)x^2+2x+(a^2+2)=g^2(x)\)

Khi đó: \((x^2+a)^2=g^2(x)\Rightarrow (x^2+a-g(x))(x^2+a+g(x))=0\)

Lúc đó ta chuyển về giải pt bậc 2 đơn giản.

Tìm a

Để \((2a+2)x^2+2x+(a^2+2)=g^2(x)\) thì \(\Delta'=1-(a^2+2)(2a+2)=0\)

\(\Rightarrow 2a^3+2a^2+4a+3=0\)

Đến đây sử dụng pp Cardano , đặt \(a=k-\frac{5}{9k}-\frac{1}{3}\). PT trở thành:
\(2(k-\frac{5}{9k}-\frac{1}{3})^3+2(k-\frac{5}{9k}-\frac{1}{3})^2+4(k-\frac{5}{9k}-\frac{1}{3})+3=0\)

\(\Leftrightarrow 2k^3-\frac{250}{729k^3}+\frac{49}{27}=0\)

Đặt \(k^3=t\Rightarrow 2t-\frac{250}{729t}+\frac{49}{27}=0\)

\(\Rightarrow 1458t^2+1323t-250=0\Rightarrow t=-\frac{49}{108}\pm \frac{\sqrt{489}}{36}\)

\(\Rightarrow k=\sqrt[3]{\frac{-49}{108}\pm \frac{\sqrt{489}}{36}}\approx -0,81198\)

Thay giá trị $k$ ở trên vào \( a=k-\frac{5}{9k}-\frac{1}{3}\) tìm được a.

ta có : \(\Delta'=\left(-4\right)^2-8\left(m^2+1\right)=16-8m^2-8=8-8m^2\)

phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi \(8-8m^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow m^2\le1\Leftrightarrow-1\le m\le1\)

áp dụng hệ thức vi - ét ta có \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=1\\x_1x_2=\dfrac{m^2+1}{8}\end{matrix}\right.\)

ta có : \(x_1^4-x_2^4=x_1^3-x_2^3\Leftrightarrow\left(x_1^2-x_2^2\right)\left(x_1^2+x_2^2\right)=\left(x_1-x_2\right)\left(x_1^2+x_1x_2+x_2^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2\right)\left(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right)=\left(x_1-x_2\right)\left(\left(x_1+x_2\right)^2-x_1x_2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)\left(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right)=\left(x_1+x_2\right)^2-x_1x_2\) (vì phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\Rightarrow x_1-x_2\ne0\))

\(\Leftrightarrow1-2\left(\dfrac{m^2+1}{8}\right)=1-\dfrac{m^2+1}{8}\Leftrightarrow-2\left(\dfrac{m^2+1}{8}\right)=-\dfrac{m^2+1}{8}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{m^2+1}{8}=0\Leftrightarrow m^2+1=0\left(vôlí\right)\)

vậy không có giá trị của \(m\) thỏa mãn điều kiện bài toán .