Chưa like anh ạ=))

de nhu the ai nhin dc :))))

C96 trùng C94 rồi

Mình không để ý, cảm ơn bạn nhiều ^^

[Toán.C93_17.2.2021] rất hay và khó! Đó là câu em gửi anh trên Facebook hồi sáng. Và em cũng là người đầu công khai đưa ra lời giải bài này.

Xem chi tiết tại tthnew's blog: 1721

Cho mình hỏi bạn tên gì vậy, thấy bạn ở đâu cũng có, hình như hồi xưa cũng ở bên olm.

Lời giải:

Đặt $\sqrt{4-a^2}=x; \sqrt{4-b^2}=y; \sqrt{4-c^2}=z$ thì bài toán trở thành:

Cho $x,y,z\in [0;2]$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=6$. Tìm min: $P=x+y+z$

-------------------

Ta có: $P^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)=6+2(xy+yz+xz)$

Vì $x,y,z\in [0;2]$ nên:

$(x-2)(y-2)(z-2)\leq 0\Leftrightarrow 2(xy+yz+xz)\geq xyz+4(x+y+z)-8\geq 4(x+y+z)-8=4P-8$

Vậy $P^2=6+2(xy+yz+xz)\geq 6+4P-8$

$\Leftrightarrow P^2-4P+2\geq 0$

$\Leftrightarrow (P-2)^2\geq 2\Rightarrow P\geq 2+\sqrt{2}$.

Vậy $P_{\min}=2+\sqrt{2}$.

Dấu "=" xảy ra khi $(a,b,c)=(0,2,\sqrt{2})$ và hoán vị

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\sum \frac{c^{2013}}{a+b-c}=\sum \frac{c^{4024}}{ac^{2011}+bc^{2011}-c^{2012}}\geq \frac{(\sum a^{2012})^2}{a^{2011}(b+c)+b^{2011}(c+a)+c^{2011}(b+a)-\sum a^{2012}}\)

Ta sẽ CM:

\(a^{2011}(b+c)+b^{2011}(c+a)+c^{2011}(b+a)-\sum a^{2012}\leq \sum a^{2012}\)

\(\Leftrightarrow a^{2011}(a-b)+a^{2011}(a-c)+b^{2011}(b-a)+b^{2011}(b-c)+c^{2011}(c-a)+c^{2011}(c-b)\geq 0\)

\(\Leftrightarrow \sum (a-b)(a^{2011}-b^{2011})\geq 0\Leftrightarrow \sum (a-b)^2(a^{2010}+...+b^{2010})\geq 0\) (luôn đúng)

Do đó: \(\sum \frac{c^{2013}}{a+b-c}\geq \frac{(\sum a^{2012})^2}{\sum a^{2012}}=\sum a^{2012}\)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$. Tức là $ABC$ là tam giác đều.

Akai Haruma Giáo viên cho em hỏi kí hiệu \(\sum\) là gì ạ và kí hiệu này được học ở lớp mấy ạ?

Toán C89 :

Ta có : \(x^3+y^3+6xy\le8\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3-3xy.\left(x+y\right)-8+6xy\le0\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(x+y\right)^3-8\right]-3xy.\left(x+y-2\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-2\right)\left[\left(x+y\right)^2+2.\left(x+y\right)+4\right]-3.xy.\left(x+y-2\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-2\right)\left[\left(x+y\right)^2+2.\left(x+y\right)+4-3xy\right]\le0\) (*)

Ta thấy : \(\left(x+y\right)^2+2.\left(x+y\right)+4-3xy\)

\(=x^2+y^2-xy+2.\left(x+y\right)+4\)

\(=\left(x-\dfrac{y}{2}\right)^2+\dfrac{3y^2}{4}+2.\left(x+y\right)+4>0\forall x,y>0\)

Do đó từ (*) suy ra : \(x+y-2\le0\Leftrightarrow x+y\le2\)

Ta có : \(Q=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\ge\dfrac{4}{2}=2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)

Vậy Min \(Q=2\) khi \(x=y=1\)

Toán C88 :

Áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số dương lần lượt ta có được :

\(\left(a+1\right)+4\ge4\sqrt{a+1}\)

\(\left(b+1\right)+4\ge4\sqrt{b+1}\)

\(\left(c+1\right)+4\ge4\sqrt{c+1}\)

Do đó : \(a+b+c+15\ge4.\left(\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}\right)=4.6=24\)

\(\Leftrightarrow a+b+c\ge9\)

Ta có : \(a^2+ab+b^2=\dfrac{4.\left(a^2+ab+b^2\right)}{4}=\dfrac{\left(a-b\right)^2+3.\left(a+b\right)^2}{4}\ge\dfrac{3.\left(a+b\right)^2}{4}>0\)

\(\Rightarrow\sqrt{a^2+ab+b^2}\ge\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\left(a+b\right)\)

Chứng minh tương tự ta có :

\(\sqrt{b^2+bc+c^2}\ge\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(b+c\right)\)

\(\sqrt{c^2+ca+a^2}\ge\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\left(c+a\right)\)

Do đó : \(P\ge\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot2\cdot\left(a+b+c\right)=\sqrt{3}.\left(a+b+c\right)\ge9\sqrt{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=3\)

Vậy Min \(P=9\sqrt{3}\) khi \(a=b=c=3\)

Vậy là ở Thái Bình thì được đến trường rồi

Vui quá 

Em ở Bình Dương giờ học trực tuyến online thêm 1 tuần nữa huhu

 \(\left(7.8.9.4\right)+\left(1+2+3-6+5\right)=2016+5=2021\)

Ta có B = 5 + 12 + 21 + 32 + ... + 480

B = 1.5 + 2.6 + 3.7 + 4.8 + .... + 20.24

= 1.(2 + 3) + 2.(3 + 3) + 3.(4 + 3) + 4.(5 + 3) + .... + 20.(21 + 3)

= 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + .... + 20.21 + 3(1 + 2 + 3 + 4 + .... + 20)

= \(\frac{1.2.3+2.3.3+3.4.3+4.5.3+...+20.21.3}{3}+3.20.\left(20+1\right):2\)

= \(\frac{1.2.3+2.3.\left(4-1\right)+3.4.\left(5-2\right)+4.5.\left(6-3\right)+...+20.21.\left(22-19\right)}{3}+630\)

=\(\frac{1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+4.5.6-3.4.5+...+20.21.22-19.20.21}{3}+630\)

= \(\frac{20.21.22}{3}+630=3080+630=3710\)