Bài toán 110

Gọi vị trí thuyền là O. Nối O với các đỉnh tam giác. Gọi khoảng cách từ O đến các cạnh của hồ lần lượt là h1, h2, h3, h4, h5 (xem hình vẽ phía dưới).

A B C D E O h1 h2 h3 h4 h5

Ta có:

Diện tích ngũ giác ABCDE bằng dt(OAE) + dt(OAB) + dt(OBC) + dt(OCD) + dt(ODE)

Hay là: dt(ABCDE) = 1/2 AE.h₁ + 1/2 AB.h₂ + 1/2 BC.h₃ + 1/2 CD.h₄ + 1/2 DE.h₅

Vì hình ngũ giác là đều nên các cạnh bằng nhau. Gọi cạnh của ngũ giác đều là a, ta có:

    dt(ABCDE) = 1/2 .a.h₁ + 1/2 .a.h₂ + 1/2 .a.h₃ + 1/2 .a.h₄ + 1/2 .a.h₅

    dt(ABCDE) = 1/2 .a.(h₁ + h₂ + h₃ + h₄ + h₅)

Suy ra h₁ + h₂ + h₃ + h₄ + h₅ = 2.dt(ABCDE)/a

Vế phải của đẳng thức trên (bằng 2 lần diện tích ngũ giác chia cho cạnh ngũ giác) là một đại lương không thay đổi khi vị trí O thay đổi.

Vậy tổng các khoảng cách từ thuyền đến các cạnh của hồ không thay đổi khi thuyền bơi trên hồ ngũ giác đều.