Tìm giá trị nhỏ nhất của
\(M=\frac{a-d}{d+b}+\frac{d-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+a}+\frac{c-a}{a+d}\) với a,b,c,d>0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
10 tháng 1 2020
Đặt \(\hept{\begin{cases}b+c+d=x>0\\a+c+d=y>0\\a+b+d=z>0\end{cases}}\)và \(a+b+c=t>0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{y+z+t-2x}{3}\\b=\frac{x+z+t-2y}{3}\\c=\frac{x+y+t-2z}{3}\end{cases}}\)và \(d=\frac{x+y+z-2t}{3}\)
Từ đó ta có:\(Q=\frac{y+z+t-2x}{3x}+\frac{x+z+t-2y}{3y}+\frac{x+y+t-2z}{3z}+\frac{x+y+z-2t}{3t}\)
\(=\frac{y}{3x}+\frac{z}{3x}+\frac{t}{3x}-\frac{2}{3}+\frac{x}{3y}+\frac{z}{3y}+\frac{t}{3y}-\frac{2}{3}+\frac{x}{3z}+\frac{y}{3z}+\frac{t}{3z}-\frac{2}{3}+\frac{x}{3t}+\frac{y}{3t}+\frac{z}{3t}-\frac{2}{3}\)
\(=\left(\frac{y}{3x}+\frac{x}{3y}\right)+\left(\frac{z}{3x}+\frac{x}{3z}\right)+\left(\frac{t}{3x}+\frac{x}{3t}\right)+\left(\frac{z}{3y}+\frac{y}{3z}\right)+\left(\frac{t}{3y}+\frac{y}{3t}\right)+\left(\frac{t}{3z}+\frac{z}{3t}\right)-\frac{8}{3}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta được:
\(\frac{y}{3x}+\frac{x}{3y}\ge2\sqrt{\frac{y}{3x}.\frac{x}{3y}}=\frac{2}{3}\)
CMTT \(\Rightarrow Q\ge\frac{4}{3}\)
Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=d\)
24 tháng 5 2017
Đặt \(b+c+d=x;c+d+a=y;a+b+d=z;a+b+c=t\)
Có \(a=\frac{y+z+t-2x}{3}\)
Tương tự :\(b=\frac{x+z+t-2y}{3}\)
\(c=\frac{x+y+t-2z}{3}\)
\(d=\frac{y+x+z-2t}{3}\)
Đặt \(M=\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{a+c+d}+\frac{c}{a+b+d}+\frac{d}{a+b+c}\)
Thay vào biểu thức ta có :
\(M=\frac{\frac{y+z+t-2x}{3}}{x}+\frac{\frac{x+z+t-2y}{3}}{y}+\frac{\frac{x+y+t-2z}{3}}{z}+\frac{\frac{y+x+z-2t}{3}}{t}\)
\(=\frac{1}{3}\left(\frac{y+z+t-2x}{x}+\frac{x+z+t-2y}{y}+\frac{x+y+t-2z}{z}+\frac{x+z+y-2t}{t}\right)\)
\(=\frac{1}{3}\left[\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)+\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)+\left(\frac{t}{x}+\frac{x}{t}\right)+\left(\frac{z}{y}+\frac{y}{z}\right)+\left(\frac{t}{y}+\frac{y}{t}\right)+\left(\frac{t}{z}+\frac{z}{t}\right)-8\right]\)
Sử dụng BĐT Cô-si suy ra \(Min_M=\frac{1}{3}.\left(12-8\right)=\frac{4}{3}\)
Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = t hay \(b+c+d=a+b+c=c+d+a=b+d+a\) ( tự giải ra a=b=c=d)
Đặt \(N=\frac{b+c+d}{a}+\frac{c+a+d}{b}+\frac{d+a+b}{c}+\frac{a+b+c}{d}\)
\(=\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)+\left(\frac{d}{a}+\frac{a}{d}\right)+\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\right)+\left(\frac{d}{c}+\frac{c}{d}\right)+\left(\frac{b}{d}+\frac{d}{b}\right)\)
Sử dụng Cô-si ra \(N\ge12\)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=d ( tự giải ).
Do đó \(S=M+N\ge\frac{4}{3}+12=13\frac{1}{3}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=d\)
\(\)
KN
15 tháng 2 2020
Áp dụng bđt cô - si cho 2 số không âm, ta được:
\(S=\text{ Σ}_{a,b,c,d}\left(\frac{a}{b+c+d}+\frac{b+c+d}{9a}\right)+\text{ Σ}_{a,b,c,d}\frac{8}{9}.\frac{b+c+d}{9a}\)
\(\ge8\sqrt[8]{\frac{a}{b+c+d}.\frac{b}{c+d+a}.\frac{c}{a+b+d}.\frac{d}{a+b+c}}\)\(\sqrt{\frac{b+c+d}{9a}.\frac{c+d+a}{9b}.\frac{a+b+d}{9c}.\frac{a+b+c}{9d}}\)
\(+\frac{8}{9}\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{d}{a}+\frac{c}{b}+\frac{d}{b}+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{d}{c}+\frac{a}{d}+\frac{b}{d}+\frac{c}{d}\right)\)
\(\ge\frac{8}{3}+\frac{8}{9}.12=\frac{40}{3}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = d
1 tháng 10 2020
Ta có:
\(S=\frac{a-d}{b+d}+\frac{d-b}{c+b}+\frac{b-c}{a+c}+\frac{c-a}{d+a}\)
\(=\left(\frac{a-d}{b+d}+1\right)+\left(\frac{d-b}{c+b}+1\right)+\left(\frac{b-c}{a+c}+1\right)+\left(\frac{c-a}{d+a}+1\right)-4\)
\(=\frac{a+b}{b+d}+\frac{d+c}{c+b}+\frac{b+a}{a+c}+\frac{c+d}{d+a}-4\)
\(=\left(a+b\right)\left(\frac{1}{b+d}+\frac{1}{a+c}\right)+\left(c+d\right)\left(\frac{1}{c+b}+\frac{1}{d+a}\right)-4\)
\(\ge\frac{4\left(a+b\right)}{a+b+c+d}+\frac{4\left(c+d\right)}{a+b+c+d}-4\) (Cauchy Schwars)
\(=\frac{4\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}-4=4-4=0\)
Dấu "=" xảy ra khi: a = b = c = d
Vậy Min(S) = 0 khi a = b = c = d
25 tháng 1 2020
Do a,b,c,d > 0 nên \(b+c+d>0,c+d+a>0,d+a+b>0,a+b+c>0\)
Áp dụng BĐT AM - GM ta có :
\(\frac{a}{b+c+b}+\frac{b+c+d}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b+c+d}.\frac{b+c+d}{a}}=2\)
Tương tự ta có được điều phải chứng minh
Khi đó \(P\ge2+2+2+2=8\)
DH
11 tháng 1 2020
Áp dụng Bất đẳng thức Bunhia- Copski ta có:
\(Q=\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{a+c+d}+\frac{c}{a+b+d}+\frac{d}{a+b+c}\)
\(=\left(\frac{a}{b+c+d}+1\right)+\left(\frac{b}{a+c+d}+1\right)+\left(\frac{c}{a+b+d}+1\right)+\left(\frac{d}{a+b+c}+1\right)-4\)
\(=\frac{a+b+c+d}{b+c+d}+\frac{a+b+c+d}{a+c+d}+\frac{a+b+c+d}{a+b+d}+\frac{a+b+c+d}{a+b+c}-4\)
\(=\left(a+b+c+d\right)\left(\frac{1}{b+c+d}+\frac{1}{a+c+d}+\frac{1}{a+b+d}+\frac{1}{a+b+c}\right)-4\ge\left(a+b+c+d\right).\frac{\left(1+1+1+1\right)^2}{\left(b+c+d\right)+\left(a+c+d\right)+\left(a+b+d\right)+\left(a+b+c\right)}-4\)
\(=\left(a+b+c+d\right)\frac{16}{3\left(a+b+c+d\right)}-4\)
\(=\frac{16}{3}-4=\frac{4}{3}\)
Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=d\)
6 tháng 7 2021
1, \(\dfrac{a}{b+c+d}=\dfrac{b}{a+c+d}=\dfrac{c}{a+b+d}=\dfrac{d}{a+b+c}=\dfrac{a+b+c+d}{3\left(a+b+c+d\right)}=\dfrac{1}{3}\)
Do đó \(\left\{{}\begin{matrix}3a=b+c+d\left(1\right)\\3b=a+c+d\left(2\right)\\3c=a+b+d\left(3\right)\\3d=a+b+c\left(4\right)\end{matrix}\right.\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow3\left(a+b\right)=a+b+2c+2d\Leftrightarrow2\left(a+b\right)=2\left(c+d\right)\Leftrightarrow a+b=c+d\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{c+d}=1\)
Tương tự cũng có: \(\dfrac{b+c}{a+d}=1;\dfrac{c+d}{a+b}=1;\dfrac{d+a}{b+c}=1\)
\(\Rightarrow A=4\)
2, Có \(\dfrac{x^3}{8}=\dfrac{y^3}{64}=\dfrac{z^3}{216}\Leftrightarrow\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{4}=\dfrac{z}{6}\)\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{4}=\dfrac{y^2}{16}=\dfrac{z^2}{36}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{4+16+36}=\dfrac{14}{56}=\dfrac{1}{4}\)
Do đó \(\dfrac{x^2}{4}=\dfrac{1}{4};\dfrac{y^2}{16}=\dfrac{1}{4};\dfrac{z^2}{36}=\dfrac{1}{4}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=1\\y^2=4\\z^2=9\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\pm1\\y=\pm2\\z=\pm3\end{matrix}\right.\)
Vậy \(\left(x;y;z\right)=\left(1;2;3\right),\left(-1;-2;-3\right)\)
6 tháng 7 2021
Bài 2 :
a, Ta có : \(\dfrac{x^3}{8}=\dfrac{y^3}{64}=\dfrac{z^3}{216}\)
\(\Rightarrow\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{4}=\dfrac{z}{6}\)
\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{4}=\dfrac{y^2}{16}=\dfrac{z^2}{36}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{4+16+36}=\dfrac{1}{4}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=1\\y^2=4\\z^2=9\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\pm1\\y=\pm2\\z=\pm3\end{matrix}\right.\)
Vậy ...
b, Ta có : \(\dfrac{2x+1}{5}=\dfrac{3y-2}{7}=\dfrac{2x+3y-1}{5+7}=\dfrac{2x+3y-1}{6x}\)
\(\Rightarrow6x=12\)
\(\Rightarrow x=2\)
\(\Rightarrow y=3\)
Vậy ...
LM
24 tháng 9 2016
\(\frac{a}{b+c+d}=\frac{b}{a+c+d}=\frac{c}{a+b+d}=\)\(\frac{d}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow1+\frac{a}{b+c+d}=1+\frac{b}{a+c+d}=1+\frac{c}{a+b+d}=1+\frac{d}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{a+b+c+d}{b+c+d}=\frac{a+b+c+d}{a+c+d}=\frac{a+b+c+d}{a+b+d}=\frac{a+b+c+d}{a+b+c}\)
Mà: \(a+b+c+d\ne0\Rightarrow b+c+d=a+c+d=a+b+d=a+b+c\)
\(\Rightarrow a=b=c=d\)
\(\Rightarrow A=\frac{a+b}{c+d}+\frac{b+c}{a+d}+\frac{c+d}{a+b}+\frac{d+a}{b+c}=\frac{a+a}{a+a}+\frac{b+b}{b+b}+\frac{c+c}{c+c}+\frac{d+d}{d+d}\)
\(\Rightarrow A=1+1+1+1=4\)
24 tháng 9 2016
số đo slaf
4
nhe sbn
bài dài
lắm mình
vhir tiện ghi
thế này thôi
MD
11 tháng 11 2018
giỏi thì làm bài nÀY nèk
chứ mấy bác cứ đăng linh ta linh tinh lên online math
11 tháng 11 2018
Linh ta linh tinh gì. ko biết làm thì tôi mới nhờ mọi người chứ
đây là câu cuối bài khảo sat trg tôi. ko làm được thì đừng phát biểu linh tinh