Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(b+c+d=x;c+d+a=y;a+b+d=z;a+b+c=t\)
Có \(a=\frac{y+z+t-2x}{3}\)
Tương tự :\(b=\frac{x+z+t-2y}{3}\)
\(c=\frac{x+y+t-2z}{3}\)
\(d=\frac{y+x+z-2t}{3}\)
Đặt \(M=\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{a+c+d}+\frac{c}{a+b+d}+\frac{d}{a+b+c}\)
Thay vào biểu thức ta có :
\(M=\frac{\frac{y+z+t-2x}{3}}{x}+\frac{\frac{x+z+t-2y}{3}}{y}+\frac{\frac{x+y+t-2z}{3}}{z}+\frac{\frac{y+x+z-2t}{3}}{t}\)
\(=\frac{1}{3}\left(\frac{y+z+t-2x}{x}+\frac{x+z+t-2y}{y}+\frac{x+y+t-2z}{z}+\frac{x+z+y-2t}{t}\right)\)
\(=\frac{1}{3}\left[\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)+\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)+\left(\frac{t}{x}+\frac{x}{t}\right)+\left(\frac{z}{y}+\frac{y}{z}\right)+\left(\frac{t}{y}+\frac{y}{t}\right)+\left(\frac{t}{z}+\frac{z}{t}\right)-8\right]\)
Sử dụng BĐT Cô-si suy ra \(Min_M=\frac{1}{3}.\left(12-8\right)=\frac{4}{3}\)
Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = t hay \(b+c+d=a+b+c=c+d+a=b+d+a\) ( tự giải ra a=b=c=d)
Đặt \(N=\frac{b+c+d}{a}+\frac{c+a+d}{b}+\frac{d+a+b}{c}+\frac{a+b+c}{d}\)
\(=\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)+\left(\frac{d}{a}+\frac{a}{d}\right)+\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\right)+\left(\frac{d}{c}+\frac{c}{d}\right)+\left(\frac{b}{d}+\frac{d}{b}\right)\)
Sử dụng Cô-si ra \(N\ge12\)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=d ( tự giải ).
Do đó \(S=M+N\ge\frac{4}{3}+12=13\frac{1}{3}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=d\)
\(\)
Áp dụng bđt cô - si cho 2 số không âm, ta được:
\(S=\text{ Σ}_{a,b,c,d}\left(\frac{a}{b+c+d}+\frac{b+c+d}{9a}\right)+\text{ Σ}_{a,b,c,d}\frac{8}{9}.\frac{b+c+d}{9a}\)
\(\ge8\sqrt[8]{\frac{a}{b+c+d}.\frac{b}{c+d+a}.\frac{c}{a+b+d}.\frac{d}{a+b+c}}\)\(\sqrt{\frac{b+c+d}{9a}.\frac{c+d+a}{9b}.\frac{a+b+d}{9c}.\frac{a+b+c}{9d}}\)
\(+\frac{8}{9}\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{d}{a}+\frac{c}{b}+\frac{d}{b}+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{d}{c}+\frac{a}{d}+\frac{b}{d}+\frac{c}{d}\right)\)
\(\ge\frac{8}{3}+\frac{8}{9}.12=\frac{40}{3}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = d
Ta có:
\(S=\frac{a-d}{b+d}+\frac{d-b}{c+b}+\frac{b-c}{a+c}+\frac{c-a}{d+a}\)
\(=\left(\frac{a-d}{b+d}+1\right)+\left(\frac{d-b}{c+b}+1\right)+\left(\frac{b-c}{a+c}+1\right)+\left(\frac{c-a}{d+a}+1\right)-4\)
\(=\frac{a+b}{b+d}+\frac{d+c}{c+b}+\frac{b+a}{a+c}+\frac{c+d}{d+a}-4\)
\(=\left(a+b\right)\left(\frac{1}{b+d}+\frac{1}{a+c}\right)+\left(c+d\right)\left(\frac{1}{c+b}+\frac{1}{d+a}\right)-4\)
\(\ge\frac{4\left(a+b\right)}{a+b+c+d}+\frac{4\left(c+d\right)}{a+b+c+d}-4\) (Cauchy Schwars)
\(=\frac{4\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}-4=4-4=0\)
Dấu "=" xảy ra khi: a = b = c = d
Vậy Min(S) = 0 khi a = b = c = d
giỏi thì làm bài nÀY nèk
chứ mấy bác cứ đăng linh ta linh tinh lên online math
Linh ta linh tinh gì. ko biết làm thì tôi mới nhờ mọi người chứ
đây là câu cuối bài khảo sat trg tôi. ko làm được thì đừng phát biểu linh tinh
Không mất tính tổng quát, giả sử \(a+b\ge c+d\)
Từ giả thiết suy ra \(b+c\ge\frac{a+b+c+d}{2}\)
\(A=\frac{b}{c+d}+\frac{c}{a+b}=\frac{b+c}{c+d}-\left(\frac{c}{c+d}-\frac{c}{a+b}\right)\)
\(\ge\frac{a+b+c+d}{2\left(c+d\right)}-\left(\frac{c+d}{c+d}-\frac{c+d}{a+b}\right)\)
Đặt a + b = x ; c + d = y ( \(x\ge y>0\), ta có :
\(A\ge\frac{x+y}{2y}-\frac{y}{y}+\frac{y}{x}=\frac{x}{2y}+\frac{1}{2}-1+\frac{y}{x}=\left(\frac{x}{2y}+\frac{y}{x}\right)-\frac{1}{2}\ge2\sqrt{\frac{x}{2y}.\frac{y}{x}}-\frac{1}{2}=\sqrt{2}-\frac{1}{2}\)
Vậy GTNN của A là \(\sqrt{2}-\frac{1}{2}\Leftrightarrow d=0,x=y\sqrt{2};b+c=a+d\)
chẳng hạn \(a=\sqrt{2}+1;b=\sqrt{2}-1;c=2;d=0\)
Ta có
\(4\left(a+b+c+d\right)^2=\left(\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+d\right)+\left(d+a\right)\right)^2\)
\(=\left(\frac{\sqrt{a+b}}{\sqrt{b+c+d}}.\sqrt{a+b}.\sqrt{b+c+d}+\frac{\sqrt{b+c}}{\sqrt{c+d+a}}.\sqrt{b+c}.\sqrt{c+d+a}+\frac{\sqrt{c+d}}{\sqrt{d+a+b}}.\sqrt{c+d}.\sqrt{d+a+b}+\frac{\sqrt{d+a}}{\sqrt{a+b+c}}.\sqrt{d+a}.\sqrt{a+b+c}\right)^2\)
\(\le\left(\frac{a+b}{b+c+d}+\frac{b+c}{c+d+a}+\frac{c+d}{d+a+b}+\frac{d+a}{a+b+c}\right)\left(\left(a+b\right)\left(b+c+d\right)+\left(b+c\right)\left(c+d+a\right)+\left(c+d\right)\left(d+a+b\right)+\left(d+a\right)\left(a+b+c\right)\right)\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{4\left(a+b+c+d\right)^2}{\left(\left(a+b\right)\left(b+c+d\right)+\left(b+c\right)\left(c+d+a\right)+\left(c+d\right)\left(d+a+b\right)+\left(d+a\right)\left(a+b+c\right)\right)}\)(1)
Ta chứng minh
\(4\left(a+b+c+d\right)^2\ge\frac{8}{3}\left(\left(a+b\right)\left(b+c+d\right)+\left(b+c\right)\left(c+d+a\right)+\left(c+d\right)\left(d+a+b\right)+\left(d+a\right)\left(a+b+c\right)\right)\left(2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2-2ac-2bd\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-c\right)^2+\left(b-d\right)^2\ge0\)(đúng)
Từ (1) và (2) ta
\(\Rightarrow\frac{a+b}{b+c+d}+\frac{b+c}{c+d+a}+\frac{c+d}{d+a+b}+\frac{d+a}{a+b+c}\ge\frac{8}{3}\)
Dấu = xảy ra khi a = b = c = d
Bài làm:
Ta có: \(S=\frac{a-d}{b+d}+\frac{d-b}{c+b}+\frac{b-c}{a+c}+\frac{c-a}{d+a}\)
\(S=\left(\frac{a-d}{b+d}+1\right)+\left(\frac{d-b}{c+b}+1\right)+\left(\frac{b-c}{a+c}+1\right)+\left(\frac{c-a}{d+a}+1\right)-4\)
\(S=\frac{a+b}{b+d}+\frac{c+d}{c+b}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{c+d}{d+a}-4\)
\(S=\left(a+b\right)\left(\frac{1}{b+d}+\frac{1}{a+c}\right)+\left(c+d\right)\left(\frac{1}{c+b}+\frac{1}{d+a}\right)-4\)
\(\ge\left(a+b\right)\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b+c+d}+\left(c+d\right)\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b+c+d}-4\)
\(=\frac{4\left(a+b\right)}{a+b+c+d}+\frac{4\left(c+d\right)}{a+b+c+d}-4=\frac{4\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}-4=4-4=0\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c=d\)
Vậy \(Min\left(S\right)=0\Leftrightarrow a=b=c=d\)
Học tốt!!!!