cho t =1/7^2 +2/7^3+3/7^4+....+99/7^100 chứng minh t < 1/36
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
N
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
13 tháng 1
Lời giải:
$T = \frac{1}{7^2}+\frac{2}{7^3}+\frac{3}{7^4}+....+\frac{99}{7^{100}}$
$7T = \frac{1}{7}+\frac{2}{7^2}+\frac{3}{7^3}+....+\frac{99}{7^{99}}$
$\Rightarrow 6T=7T-T = \frac{1}{7}+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{7^3}+...+\frac{1}{7^{99}}-\frac{99}{7^{100}}$
$42T = 1+\frac{1}{7}+\frac{1}{7^2}+...+\frac{1}{7^{98}}-\frac{99}{7^{99}}$
$\Rightarrow 42T-6T = 1-\frac{100}{7^{99}}+\frac{99}{7^{100}}$
$\Rightarrow 36T = 1-\frac{601}{7^{100}}< 1$
$\Rightarrow T< \frac{1}{36}$
26 tháng 6 2019
Tham khảo nha bạn :
Câu hỏi của Trần Minh Hưng - Toán lớp | Học trực tuyến
21 tháng 9 2017
* ta có : \(A=2^1+2^2+2^3+...+2^{99}+2^{100}\) có \(100\) số hạng
và \(100⋮2;4;5\) và \(100⋮̸3\)
ta có : \(A=2^1+2^2+2^3+...+2^{99}+2^{100}\)
\(=\left(2^1+2^2\right)+\left(2^3+2^4\right)+...+\left(2^{99}+2^{100}\right)\) (vì \(100⋮2\) )
\(=2\left(1+2\right)+2^3\left(1+2\right)+...+2^{99}\left(1+2\right)\)
\(=2.3+2^3.3+...+2^{99}.3=3.\left(2+2^3+...+2^{99}\right)⋮3\)
vậy \(A\) chia hết cho \(3\) (1)
* ta có : \(A=2^1+2^2+2^3+...+2^{99}+2^{100}\)
\(=\left(2^1+2^2+2^3+2^4\right)+\left(2^5+2^6+2^7+2^8\right)+...+\left(+2^{97}+2^{98}+2^{99}+2^{100}\right)\) (vì \(100⋮4\) )
\(=2\left(1+2+2^2+2^3\right)+2^5\left(1+2+2^2+2^3\right)+...+2^{97}\left(1+2+2^2+2^3\right)\)
\(=2\left(1+2+4+8\right)+2^5\left(1+2+4+8\right)+...+2^{97}\left(1+2+4+8\right)\)
\(=2.15+2^5.15+...+2^{97}.15=15.\left(2+2^5+...+2^{97}\right)⋮15\)
vậy \(A\) chia hết cho \(15\) (2)
* ta có : \(A=2^1+2^2+2^3+...+2^{99}+2^{100}\)
\(=\left(2^1+2^2+2^3+2^4+2^5\right)+\left(2^6+2^7+2^8+2^9+2^{10}\right)+...+\left(2^{96}+2^{97}+2^{98}+2^{99}+2^{100}\right)\) (vì \(100⋮5\) )
\(=2\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)+2^6\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)+...+2^{96}\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)\)
\(=2.\left(1+2+4+8+16\right)+2^6\left(1+2+4+8+16\right)+...+2^{96}\left(1+2+4+8+16\right)\)
\(=2.31+2^6.31+...+2^{96}.31=31.\left(2+2^6+...+2^{96}\right)⋮31\)
vậy \(A\) chia hết cho \(31\) (3)
* ta có : \(A=2^1+2^2+2^3+...+2^{99}+2^{100}\)
\(=2^1+\left(2^2+2^3+2^4\right)+...+\left(2^{98}+2^{99}+2^{100}\right)\) (vì \(100⋮̸3\) )
\(=2+2^2\left(1+2+2^2\right)+...+2^{98}\left(1+2+2^2\right)\)
\(=2+2^2\left(1+2+4\right)+...+2^{98}\left(1+2+4\right)\)
\(=2+2^2.7+...+2^{98}.7=2+7\left(2^2+...+2^{98}\right)\)
ta có : \(7\left(2^2+...+2^{98}\right)⋮7\) nhưng \(2⋮̸7\)
vậy \(A\) không chia hết cho \(7\) và số \(2< 7\)
nên số 2 là số dư khi \(A\) chia cho \(7\) (4)
từ (1);(2);(3) và (4) \(\Rightarrow\) (ĐPCM)
30 tháng 8 2020
a) Ta có: \(A=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{100}}\)
\(\Leftrightarrow2\cdot A=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{99}}\)
\(\Leftrightarrow2\cdot A-A=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{99}}-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{100}}\right)\)
\(\Leftrightarrow A=1-\frac{1}{2^{100}}\)
27 tháng 8 2017
ta có : \(A=2^1+2^2+2^3+...+2^{99}+2^{100}\) (có 100 con số trong phép cộng)
ta có : \(100\) chia hết cho \(2;4;5\) và không chia hết cho \(3\) ; \(100\) chia \(3\) dư 2 (*)
ta có : \(A=2^1+2^2+2^3+...+2^{99}+2^{100}\)
\(A=\left(2^1+2^2\right)+\left(2^3+2^4\right)+...+\left(2^{99}+2^{100}\right)\) (vì (*))
\(A=2\left(1+2\right)+2^3\left(1+2\right)+...+2^{99}\left(1+2\right)\)
\(A=2.3+2^3.3+...+2^{99}.3=3\left(2+2^3+...+2^{99}\right)⋮3\)
\(\Rightarrow A\) chia hết cho \(3\) (1)
ta có : \(A=2^1+2^2+2^3+...+2^{99}+2^{100}\)
\(A=\left(2^1+2^2+2^3+2^4\right)+...+\left(2^{97}+2^{98}+2^{99}+2^{100}\right)\) (vì (*))
\(A=2\left(1+2+2^2+2^3\right)+...+2^{97}\left(1+2+2^2+2^3\right)\)
\(A=2\left(1+2+4+8\right)+...+2^{97}\left(1+2+4+8\right)\)
\(A=2.15+...+2^{97}.15=15\left(2+...+2^{97}\right)⋮15\)
\(\Rightarrow A\) chia hết cho \(15\) (2)
ta có : \(A=2^1+2^2+2^3+...+2^{99}+2^{100}\)
\(A=\left(2^1+2^2+2^3+2^4+2^5\right)+...+\left(2^{96}+2^{97}+2^{98}+2^{99}+2^{99}\right)\)(vì(*))
\(A=2\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)+...+2^{96}\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)\)
\(A=2\left(1+2+4+8+16\right)+...+2^{96}\left(1+2+4+8+16\right)\)
\(A=2.31+...+2^{96}.31=31\left(2+...+2^{96}\right)⋮31\)
\(\Rightarrow A\) chia hết cho \(31\) (3)
ta có : \(A=2^1+2^2+2^3+...+2^{99}+2^{100}\)
\(A=2+2^2+\left(2^3+2^4+2^5\right)+...+\left(2^{98}+2^{99}+2^{100}\right)\) (vì (*))
\(A=2+2^2+2^3\left(1+2+2^2\right)+...+2^{98}\left(1+2+2^2\right)\)
\(A=2+4+2^3\left(1+2+4\right)+...+2^{98}\left(1+2+4\right)\)
\(A=6+2^3.7+...+2^{98}.7\)
\(A=6+7\left(2^3+...+2^{98}\right)\)
ta có : \(7\left(2^3+...+2^{98}\right)⋮7\) nhưng \(6\) không trùng với \(7\)
\(\Rightarrow A\) không chia hết cho \(7\) và \(6< 7\) \(\Rightarrow\) \(6\) là số dư khi \(A\) chia cho \(7\) (4)
từ (1);(2);(3)và(4) ta có : \(A=2^1+2^2+2^3+...+2^{99}+2^{100}\)
chia hết cho \(3;15;31\) nhưng không chia hết cho \(7\) và số dư của \(A\) chia \(7\) là \(6\) (đpcm)
Lời giải:
$T = \frac{1}{7^2}+\frac{2}{7^3}+\frac{3}{7^4}+....+\frac{99}{7^{100}}$
$7T = \frac{1}{7}+\frac{2}{7^2}+\frac{3}{7^3}+....+\frac{99}{7^{99}}$
$\Rightarrow 6T=7T-T = \frac{1}{7}+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{7^3}+...+\frac{1}{7^{99}}-\frac{99}{7^{100}}$
$42T = 1+\frac{1}{7}+\frac{1}{7^2}+...+\frac{1}{7^{98}}-\frac{99}{7^{99}}$
$\Rightarrow 42T-6T = 1-\frac{100}{7^{99}}+\frac{99}{7^{100}}$
$\Rightarrow 36T = 1-\frac{601}{7^{100}}< 1$
$\Rightarrow T< \frac{1}{36}$