Chứng minh rằng:2^2+1/2^2+1/3^2+1/4^2+...+1/2002^2<1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
DK
1
29 tháng 7 2018
vì \(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1\cdot2}\)(do 22 > 1.2)
\(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3}\)(do 32>2.3)
\(\frac{1}{4^2}< \frac{1}{3.4}\)(do 42 >3.4)
...
\(\frac{1}{2002^2}< \frac{1}{2001.2002}\)(do 20022 > 2001.2002)
\(\Rightarrow\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{2002^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{2001.2002}\)(2)
Ta có : \(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{2001.2002}\)
\(=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2001}-\frac{1}{2002}\)
\(=\frac{1}{1}-\frac{1}{2002}\)
\(=\frac{2002}{2002}-\frac{1}{2002}\)
\(=\frac{2001}{2002}< 1\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{2002^2}< 1\)
Bài toán được chứng minh
NT
0
20 tháng 5 2017
Đặt A=\(\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+...+\dfrac{1}{100^2}\)
\(A=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+...+\dfrac{1}{100^2}\)
A=\(\dfrac{1}{2.2}+\dfrac{1}{3.3}+\dfrac{1}{4.4}+...+\dfrac{1}{100.100}\)
Ta thấy :
\(\dfrac{1}{2.2}< \dfrac{1}{1.2};\dfrac{1}{3.3}< \dfrac{1}{2.3};\dfrac{1}{4.4}< \dfrac{1}{3.4};...;\)
\(\dfrac{1}{100.100}< \dfrac{1}{99.100}\)
\(\Rightarrow A< \dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{99.100}\)
Nhân xét :
\(\dfrac{1}{1.2}=1-\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2.3}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3.4}=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4};\)
\(...;\dfrac{1}{99.100}=\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}\)
\(\Rightarrow A< 1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+...+\)
\(\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}\)
\(\Rightarrow A< 1-\dfrac{1}{100}\)
\(\Rightarrow A< \dfrac{99}{100}\)
Vì \(A< \dfrac{99}{100}< 1\)
\(\Rightarrow A< 1\)
TM
20 tháng 5 2017
Bài 1)
Đặt \(\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+.....+\dfrac{1}{100^2}\)
Ta thấy:
\(\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{1}{2.2}< \dfrac{1}{1.2};\dfrac{1}{3^2}=\dfrac{1}{3.3}< \dfrac{1}{2.3};\dfrac{1}{4^2}=\dfrac{1}{4.4}< \dfrac{1}{3.4};....;\dfrac{1}{100^2}=\dfrac{1}{100.100}< \dfrac{1}{99.100}\)\(\Rightarrow\) \(\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+.....+\dfrac{1}{100^2}\) < \(\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+....+\dfrac{1}{99.100}\)
\(\Rightarrow\) A < \(1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+......+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}\)
\(\Rightarrow\) A < \(1-\dfrac{1}{100}\) < 1 \(\Rightarrow\) A < 1
Vậy \(\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+.....+\dfrac{1}{100^2}\)< 1
26 tháng 4 2018
\(A=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{2002^2}+\dfrac{1}{2003^2}\)
\(A< \dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+...+\dfrac{1}{2001.2002}+\dfrac{1}{2002.2003}\)
\(A< 1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{2001}-\dfrac{1}{2002}+\dfrac{1}{2002}-\dfrac{1}{2003}\)
\(A< 1-\dfrac{1}{2003}< 1\)
Vậy \(A< 1\)
28 tháng 10 2019
Xem bài tại link này nhé! Bài làm đúng đã đc OLM chọn.
Câu hỏi của Cristiano Ronaldo - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath
HN
28 tháng 10 2019
\(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+....-\frac{1}{2000}+\frac{1}{2001}-\frac{1}{2002}\)
\(=\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+......+\frac{1}{2001}\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{2002}\right)\)
\(=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+....+\frac{1}{2001}+\frac{1}{2002}\right)-2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+.....+\frac{1}{2002}\right)\)
\(=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+......+\frac{1}{2002}\right)-\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+......+\frac{1}{1001}\right)\)
\(=\frac{1}{1002}+\frac{1}{1003}+\frac{1}{1004}+.....+\frac{1}{2002}\)
Chúc em học tốt nhé!
20 tháng 4 2018
Đặt \(S=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+......+\frac{1}{2003^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+......+\frac{1}{2002.2003}\)
\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+......+\frac{1}{2002}-\frac{1}{2003}\)
\(=1-\frac{1}{2003}< 1\)
Vậy S<1
6 tháng 4 2017
4S=\(\dfrac{4}{2^2}-\dfrac{4}{2^4}+\dfrac{4}{2^6}-...+\dfrac{4}{2^{4n-2}}-\dfrac{4}{2^{4n}}+...+\dfrac{4}{2^{2002}}-\dfrac{4}{2^{2004}}\)
4S=1-\(\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^4}-,...-\dfrac{1}{2^{2002}}\)
4S+S=1-\(\dfrac{1}{2^{2004}}\)
5S=\(\dfrac{2^{2004}-1}{2^{2004}}\)<1
\(\Rightarrow\)5S<1 hay S<\(\dfrac{1}{5}\)=0,2(đpcm)
K
0