Question

[phuonganh]

Cho hình tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), \(M\) là trung điểm của \(BC\), trên tia \(MA\) lấy điểm \(D\) sao cho  \(AM=MD\) . Gọi \(I\) và  \(K\) lần là chân đường vuông góc hạ từ \(B\) và \(C\) xuống \(AD\) , \(N\) là chân đường vuông góc hạ từ \(M\) xuống \(AC\) .

a, \(CMR;BK=CI\) và BK//CI

b, \(CMR;KN\) bé hơn \(MC\) 

c, Tam giác \(ABC\) thỏa mãn thêm \(ĐK\)gì để \(AI=IM=MK=KD\)  

d, Gọi \(H\) là chân đường vuông góc hạ từ \(D\) xuống \(BC\) , Chứng minh các đt \(MI,DH,MN\) đồng quy

Giúp mình với

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

a) Xét \(\Delta\)BIM & \(\Delta\)CKM:

^BIM=^CKM=90⁰

BM=CM                   => \(\Delta\)BIM=\(\Delta\)CKM (Cạnh huyền góc nhọn)  

^BMI=^CMK

=> IM=KM (2 cạnh tương ứng).

Xét \(\Delta\)IMC & \(\Delta\)KMB:

MC=MB

^IMC=^KMB      => \(\Delta\)IMC=\(\Delta\)KMB (c.g.c)

IM=KM

=> CI=BK (2 cạnh tương ứng) & ^MIC=^MKB (2 góc tương ứng) => BK//CI (So le trong)

b) Xét tam giác ABC: M là trung điểm của BC => AM=BM=CM (T/c đg trung tuyến của tg vuông)

=> \(\Delta\)AMC cân tại M. Mà MN vuông góc với AC => MN là trung tuyến của tam giác AMC

=> N là trung điểm của AC.

Xét \(\Delta\)AKC: ^AKC=90⁰ và N là trung điểm của AC => KN=CN=AN

=> Xét tam giác ANM: ^N=90⁰ => AM>AN. Mà AN=KN =>KN<AM.

Lại có: AM=CM (cmt) => KN<CM (đpcm)

c)

 

Để AI=IM=MK=KD thì I và K phải lần lượt là trung điểm của AM và MD (Do AM=MD)

Ta có: BI là đường cao của tam giác ABM.

I là trung điểm của AM <=> Tam giác ABM cân tại B => AB=BM. Mà AM=BM=CM 9cmt)

=> AB=BM=AM => \(\Delta\)ABM đều => BI đồng thời là trung tuyến => AI=IM (1)

=> ^AMB=^DMC=60⁰ (Đối đỉnh)

Mà AM=MD=BM=MC => \(\Delta\)DMC đều => CK đồng thời là đường trung tuyến của tam giác DMC

=> MK=KD (2). Cũng có: AM=MD (3)

Từ (1); (2) và (3) => AI=IM=MK=KD.

Vậy để AI=IM=MK=KD thì \(\Delta\)ABM đều => ^ABC=60⁰.

d) Đề sai...