cho x+y++z=0 và xy+yz+zx=,chứng minh x=y=z
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NT
1
14 tháng 9 2016
ta có x+y+z=0 suy ra (x+y+z)2=0
do đó x2+y2+z2=0(vì xy+yz+xz=0)
vì thế x=y=z
NM
1
TN
22 tháng 7 2017
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{\left(y+z\right)\sqrt{yz}}{x}\ge\frac{2\sqrt{yz}\cdot\sqrt{yz}}{x}=\frac{2\sqrt{\left(yz\right)^2}}{x}=\frac{2yz}{x}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có
\(\frac{\left(x+y\right)\sqrt{xy}}{z}\ge\frac{2xy}{z};\frac{\left(x+z\right)\sqrt{xz}}{y}\ge\frac{2xz}{y}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(y+z\right)\sqrt{yz}}{x}+\frac{\left(x+y\right)\sqrt{xy}}{z}+\frac{\left(x+z\right)\sqrt{xz}}{y}\ge\frac{2xy}{z}+\frac{2yz}{x}+\frac{2xz}{y}\)
Cần chứng minh \(\frac{2xy}{z}+\frac{2yz}{x}+\frac{2xz}{y}\ge2\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\ge x+y+z\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\ge2\sqrt{\frac{xy}{z}\cdot\frac{yz}{x}}=2\sqrt{y^2}=2y\)
Tương tự rồi cộng theo vế ta có ĐPCM
Khi \(x=y=z\)
HH
0
TT
1
17 tháng 7 2018
Ta có :
\(\left(x+y+z\right)^2\)
\(=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Rightarrow0=x^2+y^2+z^2+2.0\)
\(\Rightarrow0=x^2+y^2+z^2\)
Vậy \(x=y=z\left(=0\right)\)(đpcm)
ta có:
(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz
<=>(x+y+z)2=x2+y2+z2+2.(xy+xz+yz)
thay x+y+z=0 và xy+xz+yz=0 ta được:
02=x2+y2+z2=2.0
<=>x2+y2+z2=0
mà x2;y2;z2\(\ge\)0 nên
=>x=y=z=0 thì x2+y2+z2=0
vậy với x+y++z=0 và xy+yz+zx=0 thì x=y=z