K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NT
1
14 tháng 9 2016
ta có x+y+z=0 suy ra (x+y+z)2=0
do đó x2+y2+z2=0(vì xy+yz+xz=0)
vì thế x=y=z
TT
1
17 tháng 7 2018
Ta có :
\(\left(x+y+z\right)^2\)
\(=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Rightarrow0=x^2+y^2+z^2+2.0\)
\(\Rightarrow0=x^2+y^2+z^2\)
Vậy \(x=y=z\left(=0\right)\)(đpcm)
7 tháng 6 2021
\(\dfrac{x-y}{z^2+1}=\dfrac{x-y}{z^2+xy+yz+zx}=\dfrac{x-y}{z\left(z+y\right)+x\left(z+y\right)}=\dfrac{x-y}{\left(x+z\right)\left(z+y\right)}\)
Tương tự: \(\dfrac{y-z}{x^2+1}=\dfrac{y-z}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\);\(\dfrac{z-x}{y^2+1}=\dfrac{z-x}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\)
Cộng vế với vế \(\Rightarrow VT=\dfrac{x-y}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}+\dfrac{y-z}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\dfrac{z-x}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\)
\(=\dfrac{\left(x-y\right)\left(x+y\right)+\left(y-z\right)\left(y+z\right)+\left(z-x\right)\left(z+x\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
\(=\dfrac{x^2-y^2+y^2-z^2+z^2-x^2}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}=0\)(đpcm)
24 tháng 9 2017
\(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=0\\xy+yz+zx=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x+y+z\right)^2=0\\2\left(xy+yz+zx\right)=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx=0\\2xy+2yz+2zx=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx-2xy-2yz-2zx=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=0\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x^2\ge0\forall x\\y^2\ge0\forall y\\z^2\ge0\forall z\end{matrix}\right.\)
Nên: \(x^2+y^2+z^2\ge0\)
Dấu "=" xảy ra khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}x^2=0\\y^2=0\\z^2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=0\\z=0\end{matrix}\right.\)
Vậy \(x=y=z=0\)
Ta có điều phải chứng minh
25 tháng 6 2016
Sửa lại đề là x;y;z khác -1.
\(A=\frac{xy+2x+1}{xy+x+y+1}+\frac{yz+2y+1}{yz+y+z+1}+\frac{zx+2z+1}{zx+z+x+1}=\)
\(A=\frac{x\left(y+1\right)+x+1}{x\left(y+1\right)+y+1}+\frac{y\left(z+1\right)+y+1}{y\left(z+1\right)+z+1}+\frac{z\left(x+1\right)+z+1}{z\left(x+1\right)+x+1}=\)
\(A=\frac{x\left(y+1\right)+x+1}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}+\frac{y\left(z+1\right)+y+1}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}+\frac{z\left(x+1\right)+z+1}{\left(z+1\right)\left(x+1\right)}=\)vì x;y;z khác -1 nên:
\(A=\frac{x}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{1}{z+1}+\frac{z}{z+1}+\frac{1}{x+1}=\)
\(A=\frac{x}{x+1}+\frac{1}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{z}{z+1}+\frac{1}{z+1}=\frac{x+1}{x+1}+\frac{y+1}{y+1}+\frac{z+1}{z+1}=1+1+1=3\)
A = 3 với mọi x;y;z khác -1 nên A không phụ thuộc vào x;y;z. đpcm
ta có:
(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz
<=>(x+y+z)2=x2+y2+z2+2.(xy+xz+yz)
thay x+y+z=0 và xy+xz+yz=0 ta được:
02=x2+y2+z2=2.0
<=>x2+y2+z2=0
mà x2;y2;z2\(\ge\)0 nên
=>x=y=z=0 thì x2+y2+z2=0
vậy với x+y++z=0 và xy+yz+zx=0 thì x=y=z