Question

[Trần Thị Kim Ngân]

2/ Cho parabol (P): y=x2
và đường thẳng (d) có hệ số góc là a khác 0 đi qua điểm M(1;2)
a/ Cm rằng (d) luôn luôn cắt P tại hai điểm phân biệt với mọi a khác 0.
b/ Gọi xA và xB là hoành độ giao điểm của P và d. Chứng minh rằng xA+xB-xA.xB=2.

Answer 1

[Hoàng Thanh Tuấn]

Bài này sử dựng định lý viet để chứng minh:

1. Gọi phương trình đường thẳng (d) có hệ số góc a có dạng : \(y=ax+b\left(a\ne0\right)\); \(M\left(1,2\right)\)thuộc (d) nên : \(2=a+b\Rightarrow b=2-a\left(1\right)\). Xét phương trình hoành độ giao điểm có : \(x^2=ax+b\left(2\right)\)thế 1 vào 2 có \(x^2=ax+2-a\Leftrightarrow x^2-ax-\left(2-a\right)=0\)phương trình có : \(\Delta=a^2+4\left(2-a\right)=a^2-4a+8\)\(\Rightarrow\Delta=\left(a^2-4a+4\right)+4=\left(a-2\right)^2+4\ge4\forall a\) nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá tri của \(a\ne0\)
2. Khi đó parabol cắt d tại hai điểm A,B  với A,B có hoành độ lần lượt là \(x_A,x_B\) theo vi ét ta có : \(\hept{\begin{cases}x_A+x_B=a\\x_Ax_B=-\left(2-a\right)\end{cases}}\)ta xét \(x_A+x_B-x_Ax_B=a+\left(2-a\right)=2\left(dpcm\right)\)