Cho $\triangle ABC$ có $\widehat{A}=120^{\circ}$. Tia phân giác của $\widehat{A}$ cắt $BC$ tại $D$. Tia phân giác của $\widehat{ADC}$ cắt $AC$ tại $I$. Gọi $H$, $K$ lần lượt là hình chiếu của $I$ trên đường thẳng $AB$, $BC$. Chứng minh $IH=IK$.
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Bạn ơi, bài này sai đề r, phải là gọi H,K lần lượt lầ hc của I trên AB,BC!
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a) Ta thấy: Tam giác ABC vuông tại A; DN vuông góc AC=> DN//AB => \(\frac{DF}{FN}=\frac{BM}{AM}\)(Hệ quả của ĐL Thales) (1)
Lại có: DM vuông góc AB; ^BAC=900 => DM//AC hay EM//AN => \(\frac{BM}{AM}=\frac{BE}{EN}\)(ĐL Thales) (2)
Từ (1) và (2) => \(\frac{DF}{FN}=\frac{BE}{EN}\)=> \(EF\)//\(BD\)(ĐL Thales đảo)
hay \(EF\)//\(BC\)(đpcm)
b) Dễdàng c/m được: Tứ giác AMDN là hình vuông => AM=MD=DN=AN
Gọi giao điểm của AE và FM là O
Ta có: \(\frac{DF}{DN}=\frac{BM}{AB}=\frac{BD}{BC}\)(Hệ quả ĐL Thales) (3)
Tương tự: \(\frac{EM}{MD}=\frac{AN}{AC}=\frac{BD}{BC}\)(4)
Từ (3) và (4) => \(\frac{DF}{DN}=\frac{EM}{MD}\)Mà DN=MD => DF=EM.
Xét \(\Delta\)AME và \(\Delta\)MDF:
AM=MD
^AME=^MDF => \(\Delta\)AME=\(\Delta\)MDF (c.g.c) => ^MAE=^DMF (2 góc tương ứng)
EM=DF (cmt)
Lại có: ^MAE+^MEA=900 => ^DMF+MEA=900 hay ^EMO+^MEO=900
Xét \(\Delta\)MEO: ^EMO+^MEO=900 =. \(\Delta\)MEO vuông tại O => FM vuông góc với AE
Tương tự ta c/m được EN vuông góc với AF
=> FM và EN là 2 đường cao của tam giác AEF. mà 2 đoạn này cắt nhau tại K
Vậy K là trực tâm tam giác AEF (đpcm).
c) Gọi BI giao AD tại H
K là trực tâm tam giác AEF (cmt) => AK vuông góc EF .Mà EF//BC (cmt) => AK vuông góc với BC
hay AK vuông góc với BD
Xét tam giác BAD:
AK vuông góc BD
DM vuông góc AB => I là trực tâm tam giác BAD
AK cắt DM tại I
=> BI vuông góc AD => IH vuông góc với AD.
Lại có ^HDI=^ADM=450 => Tam giác IHD vuông cân tại H
=> ^HID = 450 => ^BID=1350.
Vậy ^BID=1350.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a.
Dễ thấy \(\Delta COF=\Delta COH\left(ch-cgv\right)\Rightarrow CF=CH\Rightarrow\Delta CFH\) cân tại C.
\(\Rightarrow\widehat{CFH}=\widehat{CHF}\left(1\right)\)
Kẻ \(IG//AC\left(G\in FH\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{IGF}=\widehat{CHF}\left(2\right)\)
Từ (1);(2) \(\Rightarrow\Delta IGF\) cân tại I.\(\Rightarrow IG=FI\) mà \(FI=AH\Rightarrow GI=AH\)
Xét \(\Delta AHK\) và \(\Delta IGK\) có:
\(\widehat{HAI}=\widehat{AIG}\)
\(AH=IG\)
\(\widehat{AHG}=\widehat{HGI}\)
\(\Rightarrow\Delta AHK=\Delta IGK\left(g.c.g\right)\Rightarrow AK=KI\)
b.
Hạ \(OE\perp AB\left(E\in AB\right)\)
Do O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên khoảng cách từ O đến mỗi cạnh là bằng nhau.
\(\Rightarrow OE=OH=OF\)
Khi đó:
\(\Delta AOE=\Delta AOH\left(ch.cgv\right)\Rightarrow EA=HA\)
\(\Delta BOE=\Delta BOF\left(ch.cgv\right)\Rightarrow BE=BF\)
Ta có:
\(BA=BE+EA=BF+AH=BF+FI=BI\)
\(\Rightarrow\Delta ABI\) cân tại B.
Do \(KA=KI\Rightarrow BK\) trung tuyến mà BO là phân giác nên B,O,K thẳng hàng.
A. Ta có: $\angle BAD=\angle CAD$ $\angle ADB=120^{\circ}-\angle BAD=120^{\circ}-\angle CAD =$ $\angle ACD$ Vậy $AD$ là phân giác trong của $\angle A$ trong tam giác $ABC$ Do đó ta có $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$ (định lí phân giác) Mà $\angle A=\angle AHD$ (Do $H$ thuộc đường thẳng $AC$ là đường cao của tam giác $ABD$) $\angle HDA=180^{\circ}-\angle BDA=180^{\circ}-\angle B=120^{\circ}=\angle C$ Vậy $\frac{HD}{DC}=\frac{AD}{AC}=\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$ Vậy $HD=BD$ và $\angle B=60^{\circ}=\angle HAD$ Do đó $\triangle AHD \cong \triangle ABD$ Vậy $\triangle ABC \cong \triangle AHD$ B. Ta có $\angle ADB=120^{\circ}-\angle BAD=120^{\circ}-\angle DAC=\angle ACD$ Lại có $AD$ là phân giác trong của $\angle A$ Do đó, ta có: $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DA}$ Vậy $DC=DA$, vậy $AD$ là đường trung trực của $BH$ C. Ta có $\angle AHD = \angle B = 60^{\circ}=\angle HAC$, vậy $\triangle AHD \sim \triangle ACH$ Do đó $\dfrac{HA}{HD}= \dfrac{HC}{HA}$ Vậy $HA=HC$ D. Ta có $\angle ADB=120^{\circ}-\angle BAD=120^{\circ}-\angle DAC=\angle ACD$ Do đó tam giác $ABC$ cân tại $B$, ta có $DC>AB$ (Bất đẳng thức tam giác) E. Gọi $E$ là trung điểm của $CS$ thì ta có $CE=\frac{1}{2}CS$ Mà $\angle ACB=\angle AHB=90^{\circ}$, do đó $AH//CB$, ta có $\triangle AHB \sim \triangle ACB$ Vậy $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{HB}{BC}$ Do đó $\dfrac{HB}{AB}=\dfrac{BC}{AC}$ Vì $HEBC$ là hình bình hành nên ta có $BC=HE$ Vậy $\dfrac{HB}{AB}=\dfrac{HE}{AC}$ Lại có $\triangle HSD \sim \triangle AHC$ Vậy $\dfrac{HS}{AC}=\dfrac{HD}{AH}$ Do đó $\dfrac{HE}{AC}=\dfrac{HD+DE}{AC}=\dfrac{HD}{AC}+\dfrac{DE}{AC}$ Vì $HA=HC$ nên ta có $HD=\frac{1}{2}AC$ Vậy $\dfrac{HE}{AC}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{DE}{AC}$ Mà $HE=\frac{1}{2}CS=\frac{1}{4}AB$ nên $\dfrac{HE}{AB}=\dfrac{1}{4}$ Do đó $\dfrac{1}{2}+\dfrac{DE}{AC}=\dfrac{1}{4}$ Vậy $\dfrac{DE}{AC}=-\dfrac{1}{4}$ Ta có $\triangle BDS \sim \triangle ACS$ Vậy $\dfrac{BD}{AC}=\dfrac{DS}{CS}$ Mà $\angle B =\angle HAD=60^{\circ} =\angle SDC$ Nên tam giác $SDC$ cũng là tam giác đều với $SD=DC$ Vậy $\dfrac{BD}{AC}=\dfrac{DS}{CS}=\dfrac{1}{2}$ Do đó $DE=\frac{-1}{4}AC$, suy ra $DE$ song song với $AC$ Lại có $\angle AHB=90^{\circ}$ nên $BH$ vuông góc với $AC$ Do đó $AD$ là đường trung trực của $BH$ nên $DE$ cũng là đường trung trực của $BH$ Vậy ta được $A,D,E$ thẳng hàng Chúc bạn học tốt!![🙂](https://static.xx.fbcdn.net/images/emoji.php/v9/t4c/1/16/1f642.png)
Kẻ ��⊥��IE⊥AD (với �∈��E∈AD).
Gọi ��Ax là tia đối của tia ��AB.
Vì ���^BAC và ���^CAx là hai góc kề bù mà ���^=120∘BAC=120∘ nên ���^=60∘CAx=60∘ (1)
Ta có ��AD là phân giác của ���^⇒���^=12���^=60∘BAC⇒DAC=21BAC=60∘ (2)
Từ (1) và (2) suy ra ��AC là tia phân giác của ���^DAx
⇒��=��⇒IH=IE (tính chất tia phân giác của một góc) (3)
Vì ��DI là phân giác của ���^ADC nên ��=��IK=IE (tính chất tia phân giác của một góc) (4)
Từ (3) và (4)(4) suy ra ��=��IH=IK.