CMR :
\(n^2+n+2\)không chia hết cho 15 vs mọi \(n\in N\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NA
15 tháng 12 2018
1. Xét n=1
VT = 12 = 1
VP = \(\dfrac{n.\left(4n^2-1\right)}{3}=\dfrac{1.\left(4.1-1\right)}{3}=1\)
=> VT = VP
=> Mệnh đề đúng.
+) Giả sử với n = k , mệnh đề đúng hay: \(1^2+3^2+5^2+...+\left(2k-1\right)^2=\dfrac{k.\left(4k^2-1\right)}{3}\)+) Ta phải chứng minh với n = k + 1, mệnh đề cũng đúng, tức là: \(1^2+3^2+5^2+...+\left(2k-1\right)^2+\left(2k+1\right)^2=\dfrac{\left(k+1\right).\left(4.\left(k+1\right)^2-1\right)}{3}\\ =\dfrac{\left(k+1\right)\left(4k^2+8k+3\right)}{3}\left(1\right)\)
+) Thật vậy, với n = k + 1, theo giả thiết quy nạp, ta có:
\(1^2+3^2+5^2+...+\left(2k-1\right)^2+\left(2k+1\right)^2=\dfrac{k.\left(4.k^2-1\right)}{3}+\left(2k+1\right)^2\\ =\dfrac{k.\left(4k^2-1\right)+3.\left(2k+1\right)^2}{3}=\dfrac{4k^3-k+12k^2+12k+3}{3}\\ =\dfrac{\left(k+1\right)\left(2k+3\right)\left(2k+1\right)}{3}\\ =\dfrac{\left(k+1\right)\left(4k^2+8k+3\right)}{3}\left(2\right)\)+) Từ (1) và (2) => Điều phải chứng minh
NA
15 tháng 12 2018
2. +) Xét n = 1
\(< =>4^1+15.1-1=18⋮9\)
=> với n=1 , mệnh đề đúng.
+) Giả sử với n=k , mệnh đề đúng, tức là: \(4^k+15k-1⋮9\)
+) Ta phải chứng minh với n = k + 1 mệnh đề cũng đúng, tức là: \(4^{k+1}+15\left(k+1\right)-1⋮9\)
Thật vậy: với n = k + 1, theo giả thiết quy nạp, ta có:
\(4^{k+1}+15\left(k+1\right)-1=4.4^k+15k+15-1\\ =4.4^k+4.15k-4-3.15k+18=4.\left(4^k+15k-1\right)-\left(45k-18\right)⋮9\)=> Điều phải chứng minh.
DD
2
17 tháng 9 2018
Xet \(n=3k\)
\(\left(3k\right)^2+3k+2\equiv2\left(mod3\right)\)
Xet \(n=3k+1\)
\(\left(3k+1\right)^2+3k+1+2\equiv4\equiv1\left(mod3\right)\)
Xet \(n=3k+2\)
\(\left(3k+2\right)^2+3k+2+2\equiv1+2+2\equiv2\left(mod3\right)\)
\(\Rightarrow n^2+n+2⋮̸3\)
\(\Rightarrow n^2+n+2⋮̸15\)
ND
1
BM
6 tháng 4 2016
a, Ta có : 9 đồng dư với 1 (mod 4 ) => 9n đồng dư với 1 ( mod 4)
=> 9n+1 đồng dư với 2 (mod 4) ko chia hết cho 4 => 9n+1 ko chia hết cho 100 (vì 100 chia hết cho 4)
b, Gỉa sử n chia hết cho 3
=> n2+n+1 chia 3 dư 1.
Nếu n chia 3 dư 1
=> n2 đồng dư với 1 mod 3 => n2+n+1 chia hết cho 3
Nếu n chia 3 dư 2
=> n2 chia 3 dư 1 => n2+n+1 chia 3 dư 1.
Suy ra n chia 3 dư 1 để n2+n+1 chia hết cho 5
=> n2+n có tận cùng là 4 hoặc 9 mà hai số liên tiếp nhân nhau ko có tận cùng là 4 hoặc 9
=> n2 + n+1 ko chia hết cho 15.
thấy sai thì góp ý nha
MM
0
29 tháng 7 2020
b) Ta có: \(n^4-n^2=n^2\left(n^2-1\right)=n\cdot n\cdot\left(n-1\right)\cdot\left(n+1\right)\)
*Trường hợp 1: n chia 2 dư 1
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}n-1⋮2\\n+1⋮2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow n\cdot n\cdot\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮4\)
hay \(n^4-n^2⋮4\)(1)
*Trường hợp 2: n chia hết cho 2
\(\Leftrightarrow n^2⋮4\)
\(\Leftrightarrow n\cdot n\cdot\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮4\)
hay \(n^4-n^2⋮4\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(n^4-n^2⋮4\forall n\in N\)(đpcm)
d) Ta có: \(n^3-n=n\left(n^2-1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)
Ta có: n và n-1 là hai số tự nhiên liên tiếp
\(\Leftrightarrow n\cdot\left(n-1\right)⋮2\)
\(\Leftrightarrow n\cdot\left(n-1\right)\cdot\left(n+1\right)⋮2\)
\(\Leftrightarrow n^3-n⋮2\)(3)
Ta có: n, n-1 và n+1 là ba số tự nhiên liên tiếp
\(\Leftrightarrow n\cdot\left(n-1\right)\cdot\left(n+1\right)⋮3\)
\(\Leftrightarrow n^3-n⋮3\)(4)
Từ (3), (4) và ƯCLN(3,2)=1 suy ra \(n^3-n⋮3\cdot2\)
hay \(n^3-n⋮6\forall n\in N\)
a) Ta có: \(15^n+15^{n+2}=15^n+15^n\cdot225\)
\(=15^n\cdot\left(1+225\right)=15^n\cdot226=2\cdot15^n\cdot113⋮113\forall n\in N\)
c) Ta có: \(50^{n+2}-50^{n+1}\)
\(=50^n\cdot2500-50^n\cdot50\)
\(=50^n\cdot\left(2500-50\right)=50^n\cdot2450\)
\(=10\cdot50^n\cdot245⋮245\forall n\in N\)(đpcm)
OI
2
18 tháng 1 2017
Ta có: n^2 + n + 2 = n(n+1) + 2.
n(n+1) là tích của 2 số tự nhiên liên liên tiếp nên có chữ số tận cùng là 0; 2; 6.
Suy ra: n(n+1)+2 có chữ số tận cùng là 2; 4; 8.
Mà: 2; 4; 8 không chia hết cho 5.
Nên: n(n+1)+2 không chia hết cho 5.
Vậy: n^2 + n+2 không chia hết cho 15 với mọi n thuộc N
18 tháng 1 2017
Ta có: n2+n+2=n(n+1)+2
Để số trên chia hết cho 15 thì số trên phải chia hết cho 3 và 5.
Mà tích của 2 số tự nhiên liên tiếp có tận cùng là 0,2,6.
Mà số trên cộng với 2 có tận cùng sẽ là 2,4,8. ( không chia hết cho 5).
Vậy số trên không chia hết cho 15.
SP
3
24 tháng 11 2017
\(5^{n+3}-5^{n+2}=5^{n+2}\left(5-1\right)=5^{n+2}.4=5^2.5^n.4=25.5^n.4=100.5^n\) chia hết cho 100 (đpcm)
24 tháng 11 2017
\(5^{n+3}-5^{n+2}=5^{n+2}\left(5-1\right)=5^{n+2}.4=5^n.25.4=5^n.100\)
Ta thấy :\(5^n.100⋮100\)
\(\RightarrowĐPCM\)
Ta có: n^2 + n + 2 = n(n+1) + 2.
n(n+1) là tích của 2 số tự nhiên liên liên tiếp nên có chữ số tận cùng là 0; 2; 6.
Suy ra: n(n+1)+2 có chữ số tận cùng là 2; 4; 8.
Mà: 2; 4; 8 không chia hết cho 5.
Nên: n(n+1)+2 không chia hết cho 5.
Vậy: n^2 + n+2 không chia hết cho 15 với mọi n thuộc N.
Ta có: n^2 + n + 2 = n﴾n+1﴿ + 2.
n﴾n+1﴿ là tích của 2 số tự nhiên liên liên tiếp nên có chữ số tận cùng là 0; 2; 6.
Suy ra: n﴾n+1﴿+2 có chữ số tận cùng là 2; 4; 8.
Mà: 2; 4; 8 không chia hết cho 5.
Nên: n﴾n+1﴿+2 không chia hết cho 5.
Vậy: n^2 + n+2 không chia hết cho 15 với mọi n thuộc N.