Question

[Le Thi Khanh Huyen]

Đợt nọ em đăng bài toán này mà chưa ai giải được :(

Không dùng phép tính, thay * thành chữ số thích hợp :

\(89^6=4969\text{*}\text{*}290961\)

Thôi thì em xin " đóng góp" lời giải :)))
   Ta có \(89^6-1\)chia hết cho 89 - 1 = 88 chia hết cho 11, đồng thời nó chia hết cho \(89^3+1\)( Mọi người tự sử dụng hằng đẳng thức mà suy ra ) lại chia hết cho 89 + 1 = 90 chia hết cho 99

Đặt \(89^6-1=A\)

\(A=89^6-1=4969xy290961-1=4969xy290960\)chia hết cho 11 và 9

Tổng các chữ số hàng lẻ từ phải sang trái của A bằng 36 + y ( mọi người tự tính ra ); tổng các chữ số hàng chẵn là 18 + x

A chia hết cho 9 nên ( 36 + y ) + ( 18 + x )  = 54 + x + y chia hết cho 9, hay x + y chia hết cho 9

\(0\le x+y\le18\Leftrightarrow x+y\in\left\{0;9;18\right\}\)

Mà A chia hết cho 11 nên \(\left(36+y\right)-\left(18+x\right)\)chia hết cho 11, từ đó y - x + 18 chia hết cho 11, nên y - x có thể là -7 hoặc 4 ( dễ dàng tính tương tự )

Chú ý x + y và x - y cùng tính chẵn lẻ nên ta thử chọn như sau:

x + y = 0 thì x = y = 0, không thỏa mãn y - x trong chứng minh trên.

x + y = 18 thì hiệu chúng phải chẵn, tức y - x = 4; thì y = ( 18 + 4 ) : 2 = 11 > 10, không thỏa mãn là chữ số

x+ y = 9 thì y - x = 7, tính được x = 8 ; y = 1

\(\Rightarrow89^6=A+1=496981290961\)

Vậy ta điền : ..........81...........

Answer 1

[titanic]

Ta có 89⁶−1chia hết cho 89 - 1 = 88 chia hết cho 11, đồng thời nó chia hết cho 893+1( Mọi người tự sử dụng hằng đẳng thức mà suy ra ) lại chia hết cho 89 + 1 = 90 chia hết cho 99

Đặt 89⁶−1=A

A=89⁶−1=4969xy290961−1=4969xy290960chia hết cho 11 và 9

Tổng các chữ số hàng lẻ từ phải sang trái của A bằng 36 + y ( mọi người tự tính ra ); tổng các chữ số hàng chẵn là 18 + x

A chia hết cho 9 nên ( 36 + y ) + ( 18 + x )  = 54 + x + y chia hết cho 9, hay x + y chia hết cho 9

0≤x+y≤18⇔x+y∈{0;9;18}

Mà A chia hết cho 11 nên (36+y)−(18+x)chia hết cho 11, từ đó y - x + 18 chia hết cho 11, nên y - x có thể là -7 hoặc 4 ( dễ dàng tính tương tự )

Chú ý x + y và x - y cùng tính chẵn lẻ nên ta thử chọn như sau:

x + y = 0 thì x = y = 0, không thỏa mãn y - x trong chứng minh trên.

x + y = 18 thì hiệu chúng phải chẵn, tức y - x = 4; thì y = ( 18 + 4 ) : 2 = 11 > 10, không thỏa mãn là chữ số

x+ y = 9 thì y - x = 7, tính được x = 8 ; y = 1

⇒89⁶=A+1=496981290961

Vậy ta điền : ..........81...........